Syötä luvut
Erota luvut pilkulla, välilyönnillä tai rivinvaihdolla. Kaikkien lukujen on oltava positiivisia. Kasvuprosentti syötetään kasvukertoimena, esimerkiksi: 1.1, 1.2, 0.9
Geometrinen keskiarvo
Laske lukujoukon geometrinen keskiarvo eli tulon n:s juuri – sopii tuottojen, kasvuprosenttien ja suhdelukujen keskiarvoon.
Geometrinen keskiarvo – oikea keskiluku suhdeluvuille
Geometrinen keskiarvo on keskiluku, joka perustuu lukujen kertomiseen yhteenlaskun sijaan. Se on oikea tapa laskea keskiarvo silloin, kun luvut ovat suhdelukuja tai kertoimia: sijoitusten tuottoja, kasvuprosentteja tai indeksejä. Tällä laskurilla saat geometrisen keskiarvon yhdellä syötöllä ja näet samalla, miten se eroaa tavallisesta aritmeettisesta keskiarvosta.
Määritelmä
Geometrinen keskiarvo on n havainnon tulon n:s juuri. Se kuvaa keskimääräistä kerrointa: lukua, jolla kertomalla n kertaa saadaan sama lopputulos kuin alkuperäisillä luvuilla peräkkäin kertomalla. Geometrinen keskiarvo määritellään vain positiivisille luvuille.
Kaava ja selitys
Geometrinen keskiarvo lasketaan kaavalla:
G = (x₁ · x₂ · … · xₙ)^(1/n)
Kaavassa x₁ … xₙ ovat havainnot ja n niiden lukumäärä. Käytännössä keskiarvo lasketaan usein logaritmien avulla, mikä antaa saman tuloksen mutta välttää suurten tulojen pyöristysvirheet:
G = exp( (ln x₁ + ln x₂ + … + ln xₙ) ÷ n )
Geometrinen keskiarvo on siis logaritmien aritmeettisen keskiarvon eksponentti.
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan luvuille 2, 4 ja 8 geometrinen keskiarvo (n = 3).
- Kerro luvut: 2 · 4 · 8 = 64.
- Ota kolmas juuri: 64^(1/3) = 4.
- Vertailu: aritmeettinen keskiarvo on (2 + 4 + 8) ÷ 3 ≈ 4,67, eli geometrinen keskiarvo on pienempi.
Tuloksen tulkinta
Geometrinen keskiarvo on positiivisille luvuille aina pienempi tai yhtä suuri kuin aritmeettinen keskiarvo, ja ne ovat yhtä suuret vain, kun kaikki luvut ovat samat. Ero kasvaa, kun luvut hajaantuvat. Kun luvut ovat kasvukertoimia, geometrinen keskiarvo vastaa todellista keskimääräistä kasvuvauhtia, kun taas aritmeettinen keskiarvo antaa liian suuren arvon.
Keskimääräinen kasvuprosentti
Yleisin käyttötapa on keskimääräisen kasvun laskenta. Muunna jokainen prosenttimuutos kertoimeksi (+20 % → 1,2, −10 % → 0,9), laske niiden geometrinen keskiarvo ja vähennä yksi.
keskimääräinen kasvu = G − 1
Esimerkiksi tuotot +10 %, +20 % ja −10 % vastaavat kertoimia 1,1, 1,2 ja 0,9. Niiden geometrinen keskiarvo on noin 1,059, eli keskimääräinen vuotuinen tuotto on noin 5,9 %.
Käyttökohteet
- Sijoitustuotot: useamman vuoden tuottojen keskimääräinen vuotuinen tuotto.
- Kasvuprosentit: väestön, liikevaihdon tai hintojen keskimääräinen kasvuvauhti.
- Indeksit ja suhdeluvut: kun luvut ovat kertoimia, ei absoluuttisia määriä.
- Suurennokset ja mittakaavat: peräkkäisten kertoimien keskiarvo.
Geometrinen keskiarvo opinnoissa
Geometrinen keskiarvo kuuluu tilastotieteen keskilukuihin aritmeettisen ja harmonisen keskiarvon rinnalle. Lukion matematiikassa se esiintyy lukujonojen yhteydessä – geometrisen jonon peräkkäisten termien geometrinen keskiarvo on niiden välissä oleva termi – ja talousmatematiikassa keskimääräisen koron ja tuoton laskennassa. Yliopiston tilastotieteessä ja taloustieteessä geometrinen keskiarvo on vakiomenetelmä tuotto- ja indeksisarjojen keskiarvoistamiseen.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on geometrinen keskiarvo?
Geometrinen keskiarvo on lukujoukon tulon n:s juuri, jossa n on lukujen määrä. Toisin kuin aritmeettinen keskiarvo, joka perustuu yhteenlaskuun, geometrinen keskiarvo perustuu kertolaskuun. Se kuvaa keskimääräistä suhteellista muutosta ja on siksi oikea keskiluku esimerkiksi tuotoille ja kasvuprosenteille.
Milloin geometrista keskiarvoa käytetään?
Geometrista keskiarvoa käytetään, kun luvut ovat suhdelukuja tai kertoimia ja niitä kerrotaan keskenään: sijoitusten vuosituotot, väestön tai liikevaihdon kasvuprosentit, indeksit ja monikertaiset suurennokset. Näissä aritmeettinen keskiarvo yliarvioi todellisen keskimääräisen muutoksen.
Miksi luvut eivät saa olla nollia tai negatiivisia?
Geometrinen keskiarvo perustuu lukujen tuloon. Yksikin nolla tekee tulosta nollan, ja negatiiviset luvut voivat tehdä juuresta määrittelemättömän. Siksi laskuri edellyttää, että kaikki havainnot ovat nollaa suurempia. Prosenttimuutokset muunnetaan kasvukertoimiksi, esimerkiksi −10 % on 0,9.
Onko geometrinen keskiarvo aina pienempi kuin aritmeettinen?
Kyllä, positiivisille luvuille geometrinen keskiarvo on aina pienempi tai yhtä suuri kuin aritmeettinen keskiarvo. Ne ovat yhtä suuret vain silloin, kun kaikki luvut ovat samat. Mitä enemmän luvut hajaantuvat, sitä suurempi ero keskiarvojen välille muodostuu.
Miten lasken keskimääräisen vuosituoton geometrisella keskiarvolla?
Muunna jokaisen vuoden tuotto kasvukertoimeksi: +8 % on 1,08 ja −5 % on 0,95. Laske kertoimien geometrinen keskiarvo ja vähennä siitä yksi. Tulos kerrottuna sadalla on keskimääräinen vuotuinen tuottoprosentti, joka tuottaa saman lopputuloksen kuin todellinen tuottosarja.
Oliko tästä laskurista apua?
