Geometrisen jakauman parametrit
X on toiston numero, jolla ensimmäinen onnistuminen tapahtuu (k = 1, 2, 3, …).
Geometrinen jakauma
Laske geometrisen jakauman todennäköisyydet sekä odotusarvo ja keskihajonta, kun ensimmäistä onnistumista odotetaan onnistumistodennäköisyydellä p.
Tulokset
Geometrinen jakauma – ensimmäisen onnistumisen todennäköisyys
Geometrinen jakauma kertoo, monennellako yrityksellä ensimmäinen onnistuminen tapahtuu, kun samaa koetta toistetaan riippumattomasti onnistumistodennäköisyydellä p. Se on diskreetti jakauma, jonka avulla mallinnetaan odottamista ensimmäiseen onnistumiseen asti. Tämä laskuri antaa pistetodennäköisyyden, kertymät ja jakauman tunnusluvut yhdellä syötöllä.
Milloin geometrinen jakauma pätee?
- Jokaisella toistolla on vain kaksi tulosta: onnistuminen tai epäonnistuminen.
- Onnistumistodennäköisyys p on sama joka toistolla.
- Toistot ovat toisistaan riippumattomia.
- Lasketaan, monesko toisto tuottaa ensimmäisen onnistumisen.
Kaava ja selitys
Kun X on toiston numero, jolla ensimmäinen onnistuminen tapahtuu, pistetodennäköisyys on:
P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p
Tässä k − 1 ensimmäistä toistoa epäonnistuvat (kukin todennäköisyydellä 1 − p) ja k:s onnistuu (todennäköisyydellä p). Kertymäfunktio on:
P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k
P(X > k) = (1 − p)^k
Vaiheittainen esimerkki
Onnistumistodennäköisyys on p = 0,25 ja kysytään, että ensimmäinen onnistuminen tulee tasan kolmannella yrityksellä (k = 3).
- Kaksi ensimmäistä epäonnistuvat: 0,75 × 0,75 = 0,5625.
- Kolmas onnistuu: × 0,25.
- P(X = 3) = 0,5625 × 0,25 ≈ 0,141 eli noin 14,1 %.
- Viimeistään kolmannella: P(X ≤ 3) = 1 − 0,75³ ≈ 0,578.
Odotusarvo ja hajonta
Geometrisen jakauman tunnusluvut riippuvat vain onnistumistodennäköisyydestä p:
Odotusarvo µ = 1 ÷ p
Varianssi σ² = (1 − p) ÷ p²
Keskihajonta σ = √((1 − p) ÷ p²)
Esimerkki: kun p = 0,25, odotusarvo on 1 ÷ 0,25 = 4 ja keskihajonta √(0,75 ÷ 0,0625) = √12 ≈ 3,46. Keskimäärin tarvitaan siis neljä yritystä ensimmäiseen onnistumiseen.
Kaksi muotoa jakaumasta
Geometrisesta jakaumasta käytetään kahta määritelmää. Tämä laskuri laskee toistojen lukumäärän X = 1, 2, 3, …, jolloin odotusarvo on 1/p. Vaihtoehtoinen muoto laskee epäonnistumisten lukumäärän ennen ensimmäistä onnistumista Y = 0, 1, 2, …, jolloin P(Y = k) = (1 − p)^k × p ja odotusarvo on (1 − p)/p. Muodot liittyvät toisiinsa yhtälöllä Y = X − 1.
Muistittomuus
Geometrisella jakaumalla on niin kutsuttu muistittomuusominaisuus: jos onnistumista ei vielä ole tullut, jäljellä olevien yritysten jakauma on sama kuin alussa. Aiemmat epäonnistumiset eivät siis lisää tai vähennä seuraavan yrityksen onnistumistodennäköisyyttä. Tämä on geometrisen jakauman ainutlaatuinen piirre diskreettien jakaumien joukossa.
Käyttökohteet
- Laadunvalvonta: monesko tuote on ensimmäinen viallinen.
- Pelit ja arpajaiset: montako yritystä ensimmäiseen voittoon.
- Luotettavuus: ensimmäisen vikatapahtuman odottaminen toistuvissa kokeissa.
- Markkinointi: montako yhteydenottoa ensimmäiseen myöntävään vastaukseen.
Usein kysytyt kysymykset
Mitä geometrinen jakauma kuvaa?
Geometrinen jakauma kuvaa, monennellako yrityksellä ensimmäinen onnistuminen tapahtuu, kun koetta toistetaan riippumattomasti ja onnistumistodennäköisyys p pysyy samana. Esimerkiksi montako kertaa noppaa on heitettävä, ennen kuin saadaan ensimmäinen kuutonen. Tässä laskurissa X on toistojen lukumäärä, joten pienin mahdollinen arvo on k = 1.
Miten P(X = k) lasketaan?
Pistetodennäköisyys on P(X = k) = (1 − p)^(k − 1) × p. Ensin k − 1 epäonnistumista, joiden todennäköisyys on (1 − p) kullakin, ja sitten onnistuminen todennäköisyydellä p. Esimerkiksi p = 0,25 ja k = 3: P(X = 3) = 0,75² × 0,25 = 0,5625 × 0,25 ≈ 0,141.
Mikä on geometrisen jakauman odotusarvo ja keskihajonta?
Odotusarvo eli keskimääräinen yritysten määrä ensimmäiseen onnistumiseen on µ = 1/p. Varianssi on σ² = (1 − p)/p² ja keskihajonta σ = √((1 − p)/p²). Esimerkiksi kun p = 0,25, odotusarvo on 4 ja keskihajonta noin 3,46.
Miten lasken todennäköisyyden, että onnistuminen tapahtuu viimeistään k:nnella yrityksellä?
Käytä kertymäfunktiota P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k. Tämä on todennäköisyys, että ensimmäinen onnistuminen tulee viimeistään k:nnella yrityksellä. Vastaavasti P(X > k) = (1 − p)^k on todennäköisyys, ettei onnistumista vielä ole tullut k yrityksen jälkeen. Laskuri näyttää nämä kaikki.
Mitä eroa on toistojen ja epäonnistumisten laskennalla?
Geometrisesta jakaumasta on kaksi tavallista muotoa. Tämä laskuri laskee toistojen lukumäärän X = 1, 2, 3, …, jolloin odotusarvo on 1/p. Toinen muoto laskee epäonnistumisten lukumäärän ennen ensimmäistä onnistumista Y = 0, 1, 2, …, jolloin P(Y = k) = (1 − p)^k × p ja odotusarvo on (1 − p)/p. Tulokset vastaavat toisiaan, kun muistetaan, että Y = X − 1.
Oliko tästä laskurista apua?