Hypergeometrinen jakauma

Hypergeometrinen jakauma – otanta ilman takaisinpanoa

Hypergeometrinen jakauma on todennäköisyysjakauma, joka kuvaa onnistumisten määrää, kun otos poimitaan ilman takaisinpanoa rajallisesta populaatiosta. Se on luonteva malli tilanteisiin kuten lottoarvonta, laaduntarkastus erästä tai korttien jako pakasta. Tämä laskuri laskee hypergeometriset todennäköisyydet, kertymät ja jakauman tunnusluvut.

Määritelmä

Populaatiossa on N alkiota, joista K on onnistumisia ja loput N − K epäonnistumisia. Kun poimitaan satunnaisesti n alkiota palauttamatta niitä, satunnaismuuttuja X on otokseen osuneiden onnistumisten lukumäärä. Koska alkioita ei palauteta, jokainen poiminta muuttaa jäljellä olevia osuuksia – tämä erottaa hypergeometrisen jakauman binomijakaumasta.

Kaava ja selitys

Pistetodennäköisyys eli täsmälleen k onnistumisen todennäköisyys on:

P(X = k) = C(K, k) · C(N − K, n − k) ÷ C(N, n)

Tässä C(a, b) on binomikerroin eli niiden tapojen lukumäärä, joilla b alkiota valitaan a:sta. Odotusarvo ja varianssi ovat:

E(X) = n · K ÷ N

Var(X) = n · (K/N) · ((N−K)/N) · ((N−n)/(N−1))

Varianssin viimeinen tekijä (N − n)/(N − 1) on äärellisen populaation korjaus, joka pienentää hajontaa palautukseen verrattuna.

Vaiheittainen esimerkki

Populaatiossa on N = 20 alkiota, joista K = 7 on onnistumisia. Poimitaan n = 12 alkiota ja kysytään todennäköisyyttä saada k = 5 onnistumista.

1. Onnistumiset: C(7, 5) = 21 tapaa valita 5 onnistumista seitsemästä.
2. Epäonnistumiset: C(13, 7) = 1716 tapaa valita loput 7 alkiota kolmestatoista.
3. Kaikki otokset: C(20, 12) = 125 970.
4. Todennäköisyys: (21 · 1716) ÷ 125 970 ≈ 0,286.

Odotusarvo on E(X) = 12 · 7 ÷ 20 = 4,2, joten viisi onnistumista on hieman keskiarvoa enemmän.

Tuloksen tulkinta

• Pistetodennäköisyys P(X = k) kertoo täsmälleen k onnistumisen todennäköisyyden.
• Kertymä P(X ≤ k) on todennäköisyys saada enintään k onnistumista; P(X ≥ k) vähintään k.
• Odotusarvo on otoksen tyypillinen onnistumisten määrä.
• Rajoitukset: k ei voi ylittää K:ta eikä n:ää, ja n − k ei voi ylittää epäonnistumisten määrää N − K.

Käyttökohteet

• Lottoarvonnat: oikeiden numeroiden todennäköisyydet (Suomen Lotto 7/40).
• Laaduntarkastus: viallisten kappaleiden määrä erästä otetussa näytteessä.
• Korttipelit: tiettyjen korttien saaminen jaossa ilman takaisinpanoa.
• Otanta: kyselytutkimukset rajallisesta perusjoukosta.

Hypergeometrinen jakauma ja sen lähestyminen binomiin

Hypergeometrinen jakauma on äärellisen populaation tarkka malli, kun otanta tehdään ilman takaisinpanoa. Kun populaatio N on hyvin suuri otoskokoon n verrattuna, yksittäisten poimintojen vaikutus jäljellä oleviin osuuksiin on pieni, ja jakauma lähestyy binomijakaumaa parametrilla p = K/N. Käytännössä binomiapproksimaatio on käyttökelpoinen, kun otos on alle noin 10 % populaatiosta. Lottotyyppisissä ongelmissa, joissa otos on iso osuus populaatiosta, hypergeometrinen jakauma on oikea valinta.