Neliöjuurilaskuri

Neliöjuurilaskuri laskee neliöjuuren √x sekä minkä tahansa n:nnen juuren. Laskuri kertoo myös, onko tulos tarkka kokonaisluku vai irrationaaliluvun likiarvo, mikä on tärkeää erottaa toisistaan matematiikassa.

Mikä neliöjuuri on?

Luvun x neliöjuuri on se ei-negatiivinen luku, joka itsellään kerrottuna antaa luvun x. Toisin sanoen, jos a = √x, niin a² = x. Neliöjuuren ottaminen on siis neliöön korottamisen käänteistoimitus.

√x = a ⟺ a² = x (a ≥ 0)

Esimerkiksi √144 = 12, koska 12 · 12 = 144. Samoin √0 = 0 ja √1 = 1.

Tarkka arvo vai likiarvo?

Osa luvuista on täydellisiä neliöitä, eli jonkin kokonaisluvun toinen potenssi. Niiden neliöjuuri on tarkka kokonaisluku:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 …

Jos luku ei ole täydellinen neliö, sen neliöjuuri on irrationaaliluku: desimaalit jatkuvat loputtomiin ilman toistuvaa jaksoa. Tällöin annetaan likiarvo, joka merkitään ≈-merkillä:

√2 ≈ 1,41421 √10 ≈ 3,16228

Tarkka arvo kirjoitetaan tällöin juurimerkillä, esimerkiksi √2, ja likiarvoa käytetään vain laskuissa.

N:s juuri

Neliöjuuri on juurista yleisin, mutta juuren aste voi olla mikä tahansa. N:s juuri ⁿ√x on luku, joka n:nteen potenssiin korotettuna antaa x:n. Sen voi aina kirjoittaa murtolukueksponenttina:

ⁿ√x = x^(1/n)

Esimerkiksi kuutiojuuri ∛27 = 27^(1/3) = 3, koska 3³ = 27. Neliöjuuressa aste on 2 ja se jätetään yleensä merkitsemättä: √x tarkoittaa ²√x.

Negatiivinen luku juuren sisällä

Parillisesta juuresta ei voi laskea negatiivista lukua reaalilukuna, sillä mikään reaaliluku ei ole neliöltään negatiivinen. Esimerkiksi √(−9) ei ole reaaliluku. Sen sijaan parittoman asteen juuri toimii: ∛(−8) = −2, koska (−2)³ = −8.

Vaiheittainen esimerkki

Lasketaan √200 käsin arvioiden. Etsitään lähimmät täydelliset neliöt: 14² = 196 ja 15² = 225. Koska 200 on lähellä lukua 196, juuri on hieman yli 14. Tarkennetaan: 14,1² = 198,81 ja 14,2² = 201,64. Arvo on siis näiden välissä, ja laskin antaa √200 ≈ 14,14214. Koska 200 ei ole täydellinen neliö, kyseessä on likiarvo.

Käyttökohteet

Pythagoraan lause: suorakulmaisen kolmion hypotenuusa c = √(a² + b²).
Neliön sivu: kun pinta-ala A tunnetaan, sivu on s = √A.
Etäisyys koordinaatistossa ja tilastojen keskihajonta perustuvat neliöjuureen.
Toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavassa esiintyy juuri √(b² − 4ac).

Neliöjuuri koulussa

Neliöjuuri tulee tutuksi yläkoulun matematiikassa Pythagoraan lauseen yhteydessä. Lukiossa juuria käsitellään tarkemmin sekä pitkän (MAA) että lyhyen (MAB) matematiikan kursseilla potenssien ja juurien laskusääntöjen, toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan ja funktioiden yhteydessä. Irrationaaliluvun ja sen likiarvon ero on keskeinen käsite.

Usein kysytyt kysymykset

Mikä on neliöjuuri?

Neliöjuuri √x on se ei-negatiivinen luku, joka itsellään kerrottuna antaa luvun x. Esimerkiksi √144 = 12, koska 12 · 12 = 144. Neliöjuuren ottaminen on potenssiin korottamisen käänteistoimitus.

Mitä eroa on tarkalla arvolla ja likiarvolla?

Jos luku on täydellinen neliö (esimerkiksi 1, 4, 9, 16, 25), sen neliöjuuri on tarkka kokonaisluku. Muuten juuri on irrationaaliluku, jonka desimaaliesitys jatkuu loputtomiin ilman jaksoa. Tällöin laskin näyttää pyöristetyn likiarvon, esimerkiksi √2 ≈ 1,41421.

Voiko negatiivisesta luvusta ottaa neliöjuuren?

Reaaliluvuilla ei voi: mikään reaaliluku ei ole neliöltään negatiivinen, joten esimerkiksi √(−9) ei ole reaaliluku. Parittoman asteen juuri negatiivisesta luvusta on kuitenkin määritelty, esimerkiksi kuutiojuuri ∛(−8) = −2.

Miten lasken kuutiojuuren tai muun n:nnen juuren?

Aseta juuren asteeksi haluamasi luku n. N:s juuri vastaa murtolukueksponenttia: ⁿ√x = x^(1/n). Esimerkiksi kuutiojuuri ∛27 = 27^(1/3) = 3, koska 3³ = 27.

Onko neliöjuurella aina kaksi arvoa?

Yhtälöllä x² = 9 on kaksi ratkaisua, +3 ja −3. Merkintä √9 tarkoittaa kuitenkin vain ei-negatiivista eli pääjuurta, joka on +3. Siksi laskin näyttää positiivisen juuren; muista yhtälöitä ratkaistessasi myös negatiivinen vastaus ±.

Laske juuri

Tulokset