Harmoninen luku -laskuri

Laske n. harmoninen luku Hₙ = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n. Näet desimaaliarvon, tarkan murtoluvun ja arvion ln(n) + γ.

Harmoninen luku Hₙ

Syötä järjestysluku n. Laskuri laskee summan 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n.

Pikavalinnat:

Tulokset

  • Tulosta
  • Linkitä

    • Harmoninen luku -laskuri

    Tällä laskurilla voit laskea minkä tahansa harmonisen luvun Hₙ. Laskuri näyttää summan desimaalilukuna, pienillä n myös tarkan murtoluvun sekä arvion ln(n) + γ, joka toimii suurilla luvuilla.

    Mikä harmoninen luku on?

    Harmoninen luku on luonnollisten lukujen käänteislukujen summa ykkösestä lukuun n. Se on harmonisen sarjan osasumma:

    Hₙ = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n

    Nimi on peräisin musiikista: värähtelevän kielen yläsävelten taajuudet ovat juuri tällaisia käänteislukuja.

    Vaiheittainen esimerkki

    Lasketaan neljäs harmoninen luku. Lasketaan termit yhteen ja muodostetaan yhteinen nimittäjä:

    H₄ = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4
    H₄ = 12/12 + 6/12 + 4/12 + 3/12
    H₄ = 25/12 ≈ 2,083

    Neljäs harmoninen luku on tarkasti 25/12 eli noin 2,083.

    Sarja hajaantuu hitaasti

    Vaikka termit 1/n pienenevät jatkuvasti kohti nollaa, harmoninen sarja ei suppene: sen summa kasvaa rajatta, kun termejä lisätään. Kasvu on kuitenkin poikkeuksellisen hidasta. Summa ylittää luvun 10 vasta noin 12 367 termin kohdalla ja luvun 20 vasta sadoilla miljoonilla termeillä.

    Arvio logaritmilla

    Suurilla n harmonista lukua ei tarvitse laskea termi termiltä, vaan sille on tarkka likiarvo. Erotus harmonisen luvun ja luonnollisen logaritmin välillä lähestyy vakiota:

    Hₙ ≈ ln(n) + γ,  γ ≈ 0,5772156649

    Tässä γ on Euler–Mascheroni-vakio. Arvio toimii hyvin jo melko pienillä luvuilla ja tarkentuu n kasvaessa.

    Yhteys luonnolliseen logaritmiin

    Harmoninen luku kasvaa logaritmisesti. Tämä näkyy siinä, että lukujen 1/n summa muistuttaa pinta-alaa funktion 1/x alla, ja kyseisen alueen pinta-ala on juuri luonnollinen logaritmi. Siksi Hₙ ja ln(n) kasvavat samaa tahtia.

    Käyttökohteet

    Harmonisia lukuja tarvitaan tietojenkäsittelytieteessä algoritmien keskimääräisen suorituskyvyn analysoinnissa, todennäköisyyslaskennassa kuten keräilijän ongelmassa ja fysiikassa. Lukujonojen ja sarjojen opiskelussa harmoninen sarja on tärkeä esimerkki hajaantuvasta sarjasta, jonka termit silti lähestyvät nollaa.

    Usein kysytyt kysymykset

    Mikä on harmoninen luku?
    Harmoninen luku Hₙ tarkoittaa lukujen 1, 1/2, 1/3, …, 1/n summaa. Se on harmonisen sarjan osasumma. Esimerkiksi kolmas harmoninen luku on H₃ = 1 + 1/2 + 1/3 = 11/6 ≈ 1,833. Nimi tulee musiikin harmonisista yläsävelistä, joiden taajuudet ovat tällaisia käänteislukuja.
    Miten harmoninen luku lasketaan?
    Harmoninen luku lasketaan kaavalla Hₙ = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n eli laskemalla yhteen luonnollisten lukujen käänteisluvut ykkösestä lukuun n. Termit pienenevät jatkuvasti, mutta niitä on n kappaletta. Laskuri laskee summan tarkasti puolestasi.
    Suppeneeko harmoninen sarja?
    Ei. Vaikka termit 1/n pienenevät kohti nollaa, harmoninen sarja hajaantuu eli sen summa kasvaa rajatta, kun n kasvaa. Kasvu on kuitenkin hyvin hidasta: summa ylittää luvun 10 vasta noin 12 367 termin kohdalla.
    Mikä on Euler–Mascheroni-vakio?
    Euler–Mascheroni-vakio γ ≈ 0,5772156649 on raja-arvo, johon harmonisen luvun ja luonnollisen logaritmin erotus Hₙ − ln(n) lähestyy, kun n kasvaa. Sen avulla saadaan tarkka arvio Hₙ ≈ ln(n) + γ, joka toimii hyvin jo kohtalaisen pienillä n.
    Mihin harmonisia lukuja käytetään?
    Harmonisia lukuja esiintyy algoritmien analyysissä esimerkiksi pikalajittelun keskimääräisessä suorituskyvyssä, todennäköisyyslaskennassa kuten keräilijän ongelmassa sekä fysiikassa. Ne ovat klassinen esimerkki sarjasta, joka hajaantuu erittäin hitaasti.
    Oliko tästä laskurista apua?

    Kokeile näitä laskureita

    Avogadron luku -laskuriHarmoninen keskiarvoP/E-luku -laskuriMassaprosenttilaskuriMassaprosentti molaarisuudeksiTasapainovakiolaskuriGibbsin energia -laskuriProsenttiyksikkölaskuri

    Linkitä tämä laskuri

    Kopioi koodi ja liitä se omalle sivustollesi.
    Kaikki Raha ja talousPalkka- ja verolaskuritSäästö- ja budjettilaskuritAsumiskustannuslaskuritLaina- ja korkolaskuritSijoitus- ja tuottolaskuritPankki- ja maksulaskuritYritystalouden laskurit
    Kaikki Aika ja päivämäärätNimipäivätPäivälaskuritKalenteri ja viikotJuhlat ja pyhätLomakalenteritAikavyöhykkeetAikajanat ja historia
    Kaikki Auto ja liikkuminenKustannukset ja polttoaineMatka ja aikaRahoitus
    Kaikki Koti ja rakentaminenRakennus ja remonttiEnergia ja sähköBudjetti ja kustannuksetKeittiö ja reseptitPiha ja puutarha
    Kaikki YksikkömuunnoksetPituus ja painoTilavuus ja keittiöLämpö ja energiaData ja teknologiaVaatteet ja kengät
    Kaikki Matematiikka ja tiedePeruslaskentaProsentit ja suhteetMurtoluvut ja desimaalitLukujonot ja peruslaskutaitoGeometria ja muodotFunktiot ja yhtälötDerivoinnit ja integraalitMatriisit ja lineaarialgebraTilastot ja todennäköisyysTrigonometria ja hyperboliset funktiotEdistyneet laskutLukujärjestelmät ja muunnoksetFysiikkaSähkö ja elektroniikkaKemiaTietotekniikka ja data
    Kaikki Arjen hyötytyökalutTeksti ja laskentaAjan ja työn laskuritSatunnaisuusHauskat ja sosiaaliset
    Kaikki Digi- ja koodityökalutKoodausmuuntimetData-formaatitHash-generaattoritLukujärjestelmätVäritKuvat ja tiedostot
    Kaikki Terveys ja kuntoiluPaino ja mittasuhteetRavinto ja energiaLiikunta ja sykeUni ja lepoRaskaus ja hedelmällisyysTestit ja hyvinvointi
    Kaikki Viihde ja vapaa-aikaPelit ja pisteetRakkaus ja horoskoopitLemmikitNimigeneraattorit ja testitAjanhallinta & tapahtumat

    Suositut laskurit

    ALV-laskuri Prosenttilaskuri Asuntolainalaskuri Yleinen lainalaskuri Nettopalkkalaskuri Painoindeksi BMI