Eksponentiaalinen kasvu N = N₀ · (1 + r)ᵗ
Syötä alkuarvo, muutosprosentti jaksoa kohti (miinusmerkki vähenemiselle) ja jaksojen määrä.
Esimerkki:
Eksponentiaalisen kasvun laskuri
Laske eksponentiaalinen kasvu tai väheneminen kaavalla N = N₀ · (1 + r)ᵗ. Syötä alkuarvo, muutosprosentti ja aika.
Tulokset
Eksponentiaalisen kasvun laskuri
Tämä laskuri laskee eksponentiaalisen kasvun ja vähenemisen kaavalla N = N₀ · (1 + r)ᵗ. Syötä alkuarvo, jaksokohtainen muutosprosentti ja jaksojen määrä, niin näet loppuarvon, kasvukertoimen ja kokonaismuutoksen.
Eksponentiaalisen kasvun kaava
Kun määrä muuttuu joka jakso saman suhteellisen osuuden verran, sen kehitystä kuvaa kaava:
N = N₀ · (1 + r)ᵗ
Tässä N₀ on alkuarvo, r on jaksokohtainen muutos desimaalilukuna (5 % = 0,05) ja t on jaksojen määrä. Tekijää (1 + r) sanotaan kasvukertoimeksi.
Kasvu ja väheneminen
- r > 0: määrä kasvaa joka jakso (kasvukerroin yli 1).
- r < 0: määrä vähenee joka jakso (kasvukerroin alle 1).
- r = 0: määrä pysyy ennallaan.
Menetelmä vaihe vaiheelta
- Muunna muutosprosentti desimaaliksi: r = prosentti / 100.
- Laske kasvukerroin 1 + r.
- Korota kasvukerroin potenssiin t ja kerro alkuarvolla N₀.
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan, mihin 1 000 yksikköä kasvaa 5 %:n vuosivauhdilla 10 vuodessa.
N = 1000 · (1 + 0,05)¹⁰ = 1000 · 1,05¹⁰ ≈ 1 628,89
Määrä kasvaa siis noin 628,89 yksikköä eli noin 62,9 %.
Esimerkki vähenemisestä
Jos 1 000 yksikköä vähenee 10 % vuodessa, kolmen vuoden jälkeen jäljellä on N = 1000 · 0,9³ = 729 yksikköä.
Eksponentiaalinen vai lineaarinen kasvu?
Lineaarisessa kasvussa lisäys on joka jakso yhtä suuri, kun taas eksponentiaalisessa kasvussa lisäys lasketaan senhetkisestä määrästä. Siksi eksponentiaalinen kasvu kiihtyy ja kasvaa pitkällä aikavälillä paljon nopeammin kuin lineaarinen.
Käyttökohteet
- Korkoa korolle -laskenta ja säästöjen kasvu.
- Väestön ja populaatioiden kasvuennusteet.
- Hintojen ja arvon kehitys, kuten inflaatio tai arvonalennus.
- Radioaktiivinen hajoaminen ja muu suhteellinen väheneminen.
Eksponentiaalinen kasvu lukiossa
Eksponentiaalinen kasvu ja väheneminen kuuluvat lukion pitkän matematiikan (MAA) ja lyhyen matematiikan (MAB) sisältöihin eksponenttifunktion yhteydessä. Kaava N = N₀ · (1 + r)ᵗ on suoraan eksponenttifunktio, ja siihen liittyvät prosenttilaskut ovat keskeinen sovellus.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on eksponentiaalisen kasvun kaava?
Eksponentiaalinen kasvu lasketaan kaavalla N = N₀ · (1 + r)ᵗ, jossa N₀ on alkuarvo, r on jaksokohtainen muutos desimaalilukuna (esimerkiksi 5 % = 0,05) ja t on jaksojen määrä. Tekijä (1 + r) on kasvukerroin.
Mitä eroa on kasvulla ja vähenemisellä?
Kun muutosprosentti r on positiivinen, määrä kasvaa joka jakso. Kun r on negatiivinen, määrä vähenee. Esimerkiksi −10 % vastaa kasvukerrointa 0,9, jolloin määrästä jää joka jakso jäljelle 90 %.
Mikä on kasvukerroin?
Kasvukerroin on luku (1 + r), jolla määrä kertautuu joka jakso. Esimerkiksi 5 %:n kasvulle kerroin on 1,05 ja 10 %:n vähenemiselle 0,9. Loppuarvo saadaan korottamalla kasvukerroin potenssiin t ja kertomalla alkuarvolla.
Miten eksponentiaalinen kasvu eroaa lineaarisesta?
Lineaarisessa kasvussa määrä lisääntyy joka jakso saman verran, kun taas eksponentiaalisessa kasvussa lisäys lasketaan aina senhetkisestä määrästä. Siksi eksponentiaalinen kasvu kiihtyy ja ohittaa lopulta lineaarisen kasvun.
Mihin eksponentiaalista kasvua sovelletaan?
Sitä käytetään esimerkiksi korkoa korolle -laskennassa, väestönkasvussa, hintojen kehityksessä, arvonalennuksessa ja radioaktiivisessa hajoamisessa. Yhteistä näille on, että muutos on suhteellinen senhetkiseen määrään.
Oliko tästä laskurista apua?