Yksikköympyrä-laskuri

Tämä laskuri laskee annetun kulman sinin, kosinin ja tangentin sekä yksikköympyrän kehäpisteen (cos θ, sin θ). Lisäksi se kertoo, missä neljänneksessä kulma on ja mikä on sen vertailukulma. Kulman voi syöttää asteina tai radiaaneina.

Mikä yksikköympyrä on?

Yksikköympyrä on origokeskinen ympyrä, jonka säde on 1. Se on trigonometrian keskeinen työkalu, koska sen avulla sini ja kosini määritellään kaikille kulmille, ei vain suorakulmaisen kolmion teräville kulmille.

Kun kulma θ mitataan positiivisesta x-akselista vastapäivään, sitä vastaava kehäpiste on:

(cos θ, sin θ)

Pisteen x-koordinaatti on kosini ja y-koordinaatti on sini. Tämä määritelmä toimii myös negatiivisilla ja yli 360 asteen kulmilla.

Sini, kosini ja tangentti

Yksikköympyrä antaa kolme perustrigonometrista arvoa suoraan:

sin θ = y-koordinaatti
cos θ = x-koordinaatti
tan θ = sin θ ÷ cos θ

Sini ja kosini ovat aina välillä −1 ja 1, koska kehäpiste on säteellä 1. Tangentti sen sijaan voi saada minkä tahansa arvon.

Tangentin määrittelemättömyys

Koska tangentti on osamäärä, se ei ole määritelty silloin, kun nimittäjä cos θ on nolla:

tan θ ei ole määritelty, kun θ = 90° + k · 180°

Näissä kohdissa, kuten 90° ja 270°, tangentin kuvaajalla on pystysuora asymptootti.

Neljännekset

Yksikköympyrä jakautuu neljään neljännekseen, joissa sinin ja kosinin etumerkit vaihtelevat:

I neljännes (0°–90°): sin +, cos +
II neljännes (90°–180°): sin +, cos −
III neljännes (180°–270°): sin −, cos −
IV neljännes (270°–360°): sin −, cos +

Vaiheittainen esimerkki

Lasketaan kulman θ = 30° arvot. Kehäpiste on (cos 30°, sin 30°):

sin 30° = 0,5
cos 30° = √3 ÷ 2 ≈ 0,866
tan 30° = 0,5 ÷ 0,866 ≈ 0,577

Kulma on ensimmäisessä neljänneksessä, joten kaikki arvot ovat positiivisia, ja vertailukulma on itse 30°.

Vertailukulma

Vertailukulma on terävä kulma kulman kyljen ja x-akselin välissä. Sen avulla minkä tahansa kulman arvot palautuvat ensimmäisen neljänneksen tuttuihin arvoihin, ja vain etumerkki määräytyy neljänneksestä. Esimerkiksi sin 150° = sin 30° = 0,5, koska 150 asteen vertailukulma on 30°.

Asteet ja radiaanit

Kulman voi ilmaista asteina tai radiaaneina. Muunnos tehdään suhteella, jossa puolikierros 180° vastaa lukua π:

radiaanit = asteet · (π ÷ 180)

Yksikköympyrä koulussa

Yksikköympyrä on lukion trigonometrian kulmakivi. Se yhdistää suorakulmaisen kolmion trigonometrian ja yleisemmät kulmat, ja sen pohjalta johdetaan trigonometriset funktiot, niiden kuvaajat ja jaksollisuus. Aihe kuuluu pitkän matematiikan (MAA) trigonometrian kursseihin.

Usein kysytyt kysymykset

Mikä on yksikköympyrä?

Yksikköympyrä on origokeskinen ympyrä, jonka säde on 1. Sen avulla määritellään kulman sini ja kosini: kun kulma θ mitataan positiivisesta x-akselista vastapäivään, sitä vastaava kehäpiste on (cos θ, sin θ). Yksikköympyrä laajentaa trigonometriset funktiot kaikille kulmille, myös yli 90 asteen.

Miten sini ja kosini luetaan yksikköympyrästä?

Kulmaa θ vastaavan kehäpisteen x-koordinaatti on kosini ja y-koordinaatti on sini. Eli piste on (cos θ, sin θ). Esimerkiksi kulmalla 90° kehäpiste on (0, 1), joten cos 90° = 0 ja sin 90° = 1.

Miksi tangentti on joskus määrittelemätön?

Tangentti lasketaan osamääränä tan θ = sin θ ÷ cos θ. Kun cos θ = 0, eli kulmilla 90° ja 270° (yleisesti 90° + k·180°), jakaja on nolla, eikä tangenttia ole määritelty. Näissä kohdissa tangentin kuvaajalla on pystysuora asymptootti.

Mikä on vertailukulma?

Vertailukulma on terävä kulma, jonka kulman kylki muodostaa x-akselin kanssa. Sen avulla minkä tahansa kulman trigonometriset arvot saadaan ensimmäisen neljänneksen arvoista, vain etumerkki muuttuu neljänneksen mukaan. Esimerkiksi kulman 150° vertailukulma on 30°.

Miten asteet muunnetaan radiaaneiksi?

Asteet muunnetaan radiaaneiksi kertomalla luvulla π ÷ 180. Esimerkiksi 180° = π rad ja 90° = π/2 rad. Radiaani on kulman luonnollinen mitta, jossa täysi kierros on 2π.

Yksikköympyrä-laskuri

Kulma yksikköympyrässä

Tulokset