Kulma
Syötä kulma ja valitse yksikkö. Kulma voi olla negatiivinen tai yli 360 astetta; laskuri pelkistää sen ensin.
Pikakulmat (°):
Vertailukulma-laskuri
Laske minkä tahansa kulman vertailukulma eli terävä kulma x-akseliin nähden, sekä neljännes ja funktioiden etumerkit.
Tulokset
Vertailukulma-laskuri
Tämä laskuri laskee kulman vertailukulman eli peruskulman. Se pelkistää kulman ensin välille 0°–360°, kertoo missä neljänneksessä kulma on ja laskee terävän vertailukulman x-akseliin nähden. Lisäksi se näyttää sinin, kosinin ja tangentin etumerkit. Kulman voi antaa asteina tai radiaaneina.
Mikä vertailukulma on?
Vertailukulma on terävä kulma kulman kyljen ja x-akselin välissä. Se on aina välillä 0°–90°. Vertailukulman avulla minkä tahansa kulman trigonometriset arvot saadaan ensimmäisen neljänneksen arvoista, ja vain etumerkki riippuu neljänneksestä:
sin θ = ± sin(vertailukulma)
cos θ = ± cos(vertailukulma)
tan θ = ± tan(vertailukulma)
Vertailukulman kaavat
Kun kulma θ on pelkistetty välille 0°–360°, vertailukulma riippuu neljänneksestä:
I neljännes (0°–90°): vertailukulma = θ
II neljännes (90°–180°): vertailukulma = 180° − θ
III neljännes (180°–270°): vertailukulma = θ − 180°
IV neljännes (270°–360°): vertailukulma = 360° − θ
Radiaaneissa 180° korvataan luvulla π.
Etumerkit neljänneksittäin
- I neljännes: sin +, cos +, tan +
- II neljännes: sin +, cos −, tan −
- III neljännes: sin −, cos −, tan +
- IV neljännes: sin −, cos +, tan −
Muistisääntö: ensimmäisessä neljänneksessä kaikki ovat positiivisia, ja sen jälkeen kussakin neljänneksessä yksi funktio kerrallaan pysyy positiivisena (sini, tangentti, kosini).
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan kulman θ = 150° vertailukulma. Kulma on jo välillä 0°–360° ja sijaitsee toisessa neljänneksessä.
vertailukulma = 180° − 150° = 30°
Toisessa neljänneksessä sini on positiivinen, joten sin 150° = +sin 30° = 0,5. Kosini taas on negatiivinen, joten cos 150° = −cos 30° ≈ −0,866.
Toinen esimerkki: iso kulma
Kulmalle θ = 495° pelkistetään ensin täysi kierros pois: 495° − 360° = 135°. Tämä on toisessa neljänneksessä, joten vertailukulma = 180° − 135° = 45°.
Vertailukulma koulussa
Vertailukulma on lukion trigonometrian keskeinen apuväline. Sen avulla trigonometriset arvot lasketaan kaikille kulmille yksikköympyrän ja ensimmäisen neljänneksen arvojen pohjalta. Aihe kuuluu pitkän matematiikan (MAA) trigonometriaan ja liittyy läheisesti samanpäätteisiin kulmiin sekä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseen.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on vertailukulma?
Vertailukulma eli peruskulma on terävä kulma, jonka kulman kylki muodostaa x-akselin kanssa. Se on aina välillä 0°–90°. Vertailukulman avulla minkä tahansa kulman trigonometriset arvot palautuvat ensimmäisen neljänneksen tuttuihin arvoihin, ja vain etumerkki määräytyy neljänneksestä.
Miten vertailukulma lasketaan?
Kulma pelkistetään ensin välille 0°–360°, minkä jälkeen vertailukulma riippuu neljänneksestä: ensimmäisessä neljänneksessä se on θ, toisessa 180° − θ, kolmannessa θ − 180° ja neljännessä 360° − θ. Radiaaneissa 180° korvataan luvulla π.
Mihin vertailukulmaa käytetään?
Vertailukulmaa käytetään trigonometristen arvojen laskemiseen kulmille, jotka ovat yli 90° tai negatiivisia. Esimerkiksi sin 150° lasketaan ottamalla vertailukulman 30° sini ja oikea etumerkki: sin 150° = +sin 30° = 0,5. Se on keskeinen yksikköympyrän kanssa työskenneltäessä.
Miten etumerkki määräytyy?
Etumerkin määrää neljännes. Ensimmäisessä neljänneksessä sin, cos ja tan ovat positiivisia. Toisessa vain sini, kolmannessa vain tangentti ja neljännessä vain kosini on positiivinen. Muut ovat samassa neljänneksessä negatiivisia.
Mitä eroa on vertailukulmalla ja samanpäätteisellä kulmalla?
Samanpäätteiset kulmat osuvat samaan kohtaan yksikköympyrällä ja eroavat täysillä kierroksilla (± n · 360°), joten niillä on samat trigonometriset arvot. Vertailukulma taas on terävä kulma x-akseliin nähden, jonka avulla arvot palautetaan ensimmäiseen neljännekseen.
Oliko tästä laskurista apua?