Käyrä y = A sin(Bx + C) + D
Syötä kertoimet A, B, C ja D. Valitse, tulkitaanko B ja C asteina vai radiaaneina; tämä vaikuttaa jaksoon ja vaihesiirtoon.
Vaihesiirto-laskuri
Laske sinikäyrän y = A sin(Bx + C) + D amplitudi, jakso, vaihesiirto ja pystysiirto suoraan parametreista A, B, C ja D.
Tulokset
Vaihesiirto-laskuri
Tämä laskuri analysoi sinikäyrän y = A sin(Bx + C) + D ja laskee sen tunnusluvut: amplitudin, jakson, vaihesiirron ja pystysiirron sekä suurimman ja pienimmän arvon. Voit valita, ovatko kertoimet B ja C asteina vai radiaaneina.
Sinikäyrän yleinen muoto
Yleinen sinikäyrä kirjoitetaan neljän parametrin avulla:
y = A sin(Bx + C) + D
Jokainen kerroin muuttaa käyrää eri tavalla: A muuttaa korkeutta, B taajuutta, C vaakasiirtoa ja D pystysiirtoa.
Amplitudi
Amplitudi kertoo, kuinka kauas käyrä ulottuu keskiviivasta ylös ja alas:
amplitudi = |A|
Jakso eli periodi
Jakso on se vaakaetäisyys, jonka jälkeen käyrä toistaa itsensä:
jakso = 2π ÷ |B| (radiaaneina)
jakso = 360° ÷ |B| (asteina)
Mitä suurempi |B| on, sitä lyhyempi jakso ja sitä tiheämpää värähtely.
Vaihesiirto
Vaihesiirto kertoo käyrän vaakasuuntaisen siirron. Se saadaan kirjoittamalla Bx + C = B(x + C ÷ B):
vaihesiirto = −C ÷ B
Positiivinen arvo tarkoittaa siirtoa oikealle ja negatiivinen vasemmalle.
Pystysiirto ja ääriarvot
Pystysiirto D nostaa tai laskee koko käyrää ja määrää keskiviivan y = D. Ääriarvot saadaan amplitudista:
suurin arvo = D + |A|
pienin arvo = D − |A|
keskiviiva: y = D
Vaiheittainen esimerkki
Tarkastellaan käyrää y = 2 sin(2x − π/2), jossa A = 2, B = 2, C = −π/2 ja D = 0 (radiaaneina).
amplitudi = |2| = 2
jakso = 2π ÷ |2| = π
vaihesiirto = −(−π/2) ÷ 2 = π/4 (oikealle)
pystysiirto = 0
Käyrä värähtelee siis välillä −2 ja 2, sen jakso on π, ja se on siirtynyt π/4 oikealle perusmuotoon nähden.
Vaihesiirto koulussa
Trigonometristen funktioiden muunnokset kuuluvat lukion pitkän matematiikan (MAA) kursseihin, joissa käsitellään sinin ja kosinin kuvaajia. Amplitudi, jakso ja vaihesiirto ovat keskeisiä käsitteitä myös fysiikassa, jossa sinikäyrillä mallinnetaan värähtelyjä, ääntä ja aaltoliikettä. Saman muodon avulla kuvataan myös kosinikäyrä.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on vaihesiirto?
Vaihesiirto kertoo, kuinka paljon sinikäyrää on siirretty vaakasuunnassa. Muodossa y = A sin(Bx + C) + D vaihesiirto lasketaan kaavalla −C ÷ B. Positiivinen tulos tarkoittaa siirtoa oikealle ja negatiivinen vasemmalle verrattuna perusmuotoon y = A sin(Bx).
Miten amplitudi ja jakso lasketaan?
Amplitudi on kertoimen A itseisarvo |A|; se kertoo, kuinka korkealle ja matalalle käyrä ulottuu keskiviivasta. Jakso eli periodi on 2π ÷ |B| radiaaneina tai 360° ÷ |B| asteina. Mitä suurempi |B|, sitä lyhyempi jakso ja tiheämpi värähtely.
Mitä pystysiirto D tarkoittaa?
Pystysiirto D nostaa tai laskee koko käyrää pystysuunnassa. Se määrää keskiviivan eli tasapainotason y = D, jonka ympärillä käyrä värähtelee. Käyrän suurin arvo on D + |A| ja pienin arvo D − |A|.
Miksi vaihesiirto on −C ÷ B eikä C?
Lauseke Bx + C voidaan kirjoittaa muotoon B(x + C ÷ B), eli B(x − (−C ÷ B)). Tästä näkyy, että käyrää on siirretty määrän −C ÷ B vaakasuunnassa. Siksi pelkkä C ei kerro siirtoa, vaan se on jaettava kertoimella B.
Toimiiko sama kosinikäyrälle?
Kyllä. Samat tunnusluvut pätevät myös muodolle y = A cos(Bx + C) + D: amplitudi |A|, jakso 2π ÷ |B|, vaihesiirto −C ÷ B ja pystysiirto D. Ero on vain käyrän lähtökohdassa, koska kosini alkaa huipulta ja sini keskiviivalta.
Oliko tästä laskurista apua?