Kulma
Syötä kulma ja valitse yksikkö. Kulma voi olla negatiivinen tai yli 360 astetta.
Pikakulmat (°):
Samanpäätteiset kulmat -laskuri
Laske kulman samanpäätteiset kulmat eli ne kulmat, jotka osuvat samaan kohtaan yksikköympyrällä: θ ± n · 360°.
Tulokset
Samanpäätteiset kulmat -laskuri
Tämä laskuri laskee kulman samanpäätteiset kulmat. Se pelkistää kulman välille 0°–360°, etsii pienimmän positiivisen ja suurimman negatiivisen samanpäätteisen kulman sekä näyttää esimerkkejä. Koska samanpäätteisillä kulmilla on samat trigonometriset arvot, myös sini, kosini ja tangentti lasketaan. Kulman voi antaa asteina tai radiaaneina.
Mitä samanpäätteiset kulmat ovat?
Samanpäätteiset kulmat osuvat samaan kohtaan yksikköympyrällä eli niiden kylki osoittaa samaan suuntaan. Ne eroavat toisistaan vain täysillä kierroksilla:
θ ± n · 360° (asteina)
θ ± n · 2π (radiaaneina)
Tässä n on mikä tahansa kokonaisluku 0, 1, 2, …
Pienin positiivinen samanpäätteinen kulma
Kun kulma pelkistetään välille 0°–360°, saadaan sen pienin positiivinen samanpäätteinen kulma eli peruskulma. Tämä tehdään lisäämällä tai vähentämällä täysiä kierroksia, kunnes kulma osuu välille:
peruskulma = θ − 360° · ⌊θ ÷ 360°⌋
Samat trigonometriset arvot
Koska samanpäätteiset kulmat osoittavat samaan kohtaan ympyrällä, niiden trigonometriset arvot ovat samat:
sin(θ + n · 360°) = sin θ
cos(θ + n · 360°) = cos θ
tan(θ + n · 360°) = tan θ
Juuri tästä syystä sini ja kosini ovat jaksollisia 360 asteen jaksolla.
Vaiheittainen esimerkki
Tarkastellaan kulmaa θ = 30°. Sen samanpäätteisiä kulmia ovat:
30° + 360° = 390°
30° + 720° = 750°
30° − 360° = −330°
Kaikilla näillä kulmilla on sama sini, kosini ja tangentti kuin kulmalla 30°. Pienin positiivinen samanpäätteinen kulma on 30° itse.
Toinen esimerkki: iso kulma
Kulmalle θ = 760° pelkistetään täydet kierrokset pois: 760° − 2 · 360° = 40°. Pienin positiivinen samanpäätteinen kulma on siis 40°, ja sin 760° = sin 40°.
Samanpäätteiset kulmat koulussa
Samanpäätteiset kulmat kuuluvat lukion pitkän matematiikan (MAA) trigonometriaan. Käsite on tärkeä erityisesti trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa, jossa ratkaisut ilmaistaan muodossa θ + n · 360°, koska ratkaisuja on äärettömän monta. Aihe liittyy läheisesti yksikköympyrään ja funktioiden jaksollisuuteen.
Usein kysytyt kysymykset
Mitä samanpäätteiset kulmat ovat?
Samanpäätteiset kulmat ovat kulmia, jotka päättyvät samaan kohtaan yksikköympyrällä eli joiden kylki osoittaa samaan suuntaan. Ne eroavat toisistaan täysillä kierroksilla, eli määrällä n · 360° (tai radiaaneina n · 2π). Esimerkiksi 30° ja 390° ovat samanpäätteisiä.
Miten samanpäätteinen kulma lasketaan?
Samanpäätteinen kulma saadaan lisäämällä tai vähentämällä täysiä kierroksia: θ ± n · 360°, missä n on kokonaisluku. Pienin positiivinen samanpäätteinen kulma löytyy pelkistämällä kulma välille 0°–360°. Radiaaneissa täysi kierros on 2π.
Onko samanpäätteisillä kulmilla samat trigonometriset arvot?
Kyllä. Koska samanpäätteiset kulmat osoittavat samaan kohtaan yksikköympyrällä, niiden sini, kosini ja tangentti ovat täsmälleen samat. Tämä on syy siihen, miksi trigonometriset funktiot ovat jaksollisia: sin ja cos toistuvat 360 asteen välein.
Mitä eroa on samanpäätteisellä ja vertailukulmalla?
Samanpäätteiset kulmat eroavat täysillä kierroksilla ja osuvat samaan kohtaan ympyrällä, joten niillä on samat trigonometriset arvot. Vertailukulma sen sijaan on terävä kulma x-akseliin nähden, jonka avulla arvot palautetaan ensimmäiseen neljännekseen etumerkin kanssa.
Mihin samanpäätteisiä kulmia tarvitaan?
Samanpäätteisiä kulmia tarvitaan trigonometristen yhtälöiden ratkaisujen ilmaisemiseen, sillä ratkaisuja on yleensä äärettömän monta. Ne kirjoitetaan muotoon θ + n · 360°. Käsite liittyy myös funktioiden jaksollisuuteen ja yksikköympyrän käyttöön.
Oliko tästä laskurista apua?