Kulma x
Syötä kulma x ja valitse yksikkö. Laskuri laskee komplementtikulman 90° − x arvot ja yhteydet.
Pikakulmat (°):
Komplementtifunktiot-laskuri
Laske komplementtikulman 90° − x trigonometriset arvot ja näe komplementtifunktioiden yhteydet: sin(90° − x) = cos x ja cos(90° − x) = sin x.
Tulokset
Komplementtifunktiot-laskuri
Tämä laskuri näyttää komplementtifunktioiden eli kofunktioiden yhteydet. Kun kulma x ja kulma 90° − x täydentävät toisensa suoraksi kulmaksi, niiden trigonometriset arvot kytkeytyvät toisiinsa. Laskuri laskee komplementtikulman arvot ja vahvistaa yhteydet lukuina. Kulman voi antaa asteina tai radiaaneina.
Komplementtifunktioiden kaavat
Kulman x funktio on yhtä suuri kuin sen komplementin 90° − x kofunktio:
sin(90° − x) = cos x
cos(90° − x) = sin x
tan(90° − x) = cot x = 1 ÷ tan x
Sini ja kosini ovat siis toistensa kofunktioita, samoin tangentti ja kotangentti.
Mikä on komplementtikulma?
Komplementtikulma eli täydennyskulma on kulma, joka yhdessä annetun kulman kanssa muodostaa suoran kulman:
x + (90° − x) = 90°
Esimerkiksi kulman 20° komplementti on 70°. Radiaaneissa komplementti on π/2 − x.
Miksi yhteys pätee
Suorakulmaisessa kolmiossa kahden terävän kulman summa on 90°, joten ne ovat toistensa komplementteja. Toisen kulman vastainen kateetti on toisen kulman viereinen kateetti. Siksi yhden kulman sini (vastainen / hypotenuusa) on toisen kulman kosini (viereinen / hypotenuusa). Sama seuraa erotuksen kaavasta sin(90° − x) = sin 90° cos x − cos 90° sin x = cos x.
Vaiheittainen esimerkki
Tarkistetaan yhteys kulmalla x = 20°. Komplementti on 90° − 20° = 70°.
sin(90° − 20°) = sin 70° ≈ 0,9397
cos 20° ≈ 0,9397
Molemmat antavat saman arvon, joten sin 70° = cos 20°. Vastaavasti cos 70° = sin 20° ≈ 0,342.
Komplementti vai suplementti?
- Komplementtikulmat täydentävät toisensa 90 asteeksi. Niistä seuraavat kofunktioiden yhteydet, kuten sin(90° − x) = cos x.
- Suplementtikulmat täydentävät toisensa 180 asteeksi. Niistä seuraa muun muassa sin(180° − x) = sin x ja cos(180° − x) = −cos x.
Komplementtifunktiot koulussa
Komplementtifunktiot kuuluvat lukion pitkän matematiikan (MAA) trigonometriaan. Niitä tarvitaan lausekkeiden sieventämisessä, sinin ja kosinin välisten yhteyksien ymmärtämisessä sekä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa. Yhteys selittää myös, miksi sinin ja kosinin kuvaajat ovat toistensa siirtoja.
Usein kysytyt kysymykset
Mitä komplementtifunktiot tarkoittavat?
Komplementtifunktiot eli kofunktiot ovat funktiopareja, jotka liittyvät toisiinsa komplementtikulman kautta. Komplementtikulma tarkoittaa kahta kulmaa, jotka täydentävät toisensa suoraksi kulmaksi 90°. Tällöin sin(90° − x) = cos x, cos(90° − x) = sin x ja tan(90° − x) = cot x.
Miksi sin(90° − x) = cos x?
Suorakulmaisessa kolmiossa kahden terävän kulman summa on 90°, joten ne ovat toistensa komplementteja. Toisen kulman vastainen kateetti on toisen kulman viereinen kateetti, mistä seuraa, että yhden kulman sini on toisen kosini. Sama tulos saadaan yksikköympyrästä ja erotuksen kaavasta.
Mikä on komplementtikulma?
Komplementtikulma eli täydennyskulma on kulma, joka yhdessä annetun kulman kanssa muodostaa suoran kulman 90°. Esimerkiksi kulman 20° komplementti on 70°, koska 20° + 70° = 90°. Radiaaneissa komplementti on π/2 − x.
Mikä on erona komplementti- ja suplementtikulmalla?
Komplementtikulmat täydentävät toisensa 90 asteeksi, kun taas suplementtikulmat täydentävät toisensa 180 asteeksi. Komplementti liittyy kofunktioihin (sin ↔ cos), suplementti taas siihen, että sin(180° − x) = sin x ja cos(180° − x) = −cos x.
Mihin komplementtifunktioita tarvitaan?
Komplementtifunktioita käytetään trigonometristen lausekkeiden sieventämiseen, arvojen muuntamiseen sinin ja kosinin välillä sekä yhtälöiden ratkaisemiseen. Ne ovat osa lukion trigonometriaa ja auttavat ymmärtämään sinin ja kosinin kuvaajien suhdetta.
Oliko tästä laskurista apua?