Tapahtumien todennäköisyydet
Anna kunkin tapahtuman todennäköisyys väliltä 0–1 (tai 0–100 %).
Kolmen tapahtuman todennäköisyys
Laske kolmen tapahtuman yhteistodennäköisyys ja yhdiste – sekä riippumattomille että toisensa poissulkeville tapahtumille.
Tulokset
Kolmen tapahtuman todennäköisyys – yhteistodennäköisyys ja yhdiste
Kun tarkastellaan kolmea tapahtumaa A, B ja C, kiinnostavat usein niiden yhteistodennäköisyys (kaikki toteutuvat) ja yhdiste (vähintään yksi toteutuu). Laskentatapa riippuu siitä, ovatko tapahtumat riippumattomia vai toisensa poissulkevia. Tämä laskuri antaa molemmat sekä todennäköisyyden, ettei yksikään tapahdu.
Riippumattomat ja poissulkevat tapahtumat
Riippumattomat tapahtumat eivät vaikuta toisiinsa, ja ne voivat toteutua samanaikaisesti. Toisensa poissulkevat (erilliset) tapahtumat eivät voi toteutua yhtä aikaa, joten niistä korkeintaan yksi tapahtuu kerrallaan. Valitse laskuriin oikea oletus tilanteen mukaan.
Yhteistodennäköisyys (kaikki toteutuvat)
Riippumattomille tapahtumille yhteistodennäköisyys on tulo:
P(A ja B ja C) = P(A) × P(B) × P(C)
Toisensa poissulkeville tapahtumille yhteistodennäköisyys on aina 0, koska ne eivät voi toteutua samaan aikaan.
Yhdiste (vähintään yksi toteutuu)
Riippumattomille tapahtumille helpoin tapa on komplementti eli "ei yksikään":
P(vähintään yksi) = 1 − (1 − P(A))(1 − P(B))(1 − P(C))
Sama tulos saadaan yhteenlaskukaavalla, joka poistaa päällekkäisyydet:
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A)P(B) − P(A)P(C) − P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)
Toisensa poissulkeville tapahtumille yhdiste on yksinkertaisesti summa P(A) + P(B) + P(C).
Vaiheittainen esimerkki
Riippumattomat tapahtumat: P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 ja P(C) = 0,3.
- Kaikki toteutuvat: 0,5 × 0,4 × 0,3 = 0,06 eli 6 %.
- Ei yksikään: (1 − 0,5)(1 − 0,4)(1 − 0,3) = 0,5 × 0,6 × 0,7 = 0,21.
- Vähintään yksi: 1 − 0,21 = 0,79 eli 79 %.
Tuloksen tulkinta
Yhteistodennäköisyys on aina pienin näistä luvuista, koska kaikkien tapahtumien toteutuminen on tiukin ehto. "Vähintään yksi" on suurin. Komplementtikaava on erityisen kätevä, kun tapahtumia on monta: "ei yksikään" on usein helpompi laskea kuin kaikki päällekkäisyydet erikseen.
Käyttökohteet
- Luotettavuus: järjestelmä toimii, jos vähintään yksi rinnakkainen komponentti toimii.
- Laadunvalvonta: todennäköisyys, että kaikki tarkastukset menevät läpi.
- Riskianalyysi: todennäköisyys, että ainakin yksi riski toteutuu.
- Pelit: useamman riippumattoman tapahtuman yhdistäminen.
Usein kysytyt kysymykset
Miten lasken kolmen tapahtuman yhteistodennäköisyyden?
Jos tapahtumat ovat riippumattomia, yhteistodennäköisyys on todennäköisyyksien tulo: P(A ja B ja C) = P(A) × P(B) × P(C). Esimerkiksi 0,5 × 0,4 × 0,3 = 0,06 eli 6 %. Riippumattomuus tarkoittaa, ettei yhden tapahtuman toteutuminen muuta muiden todennäköisyyttä.
Mitä tarkoittaa riippumaton ja toisensa poissulkeva tapahtuma?
Riippumattomat tapahtumat eivät vaikuta toisiinsa: yhden toteutuminen ei muuta toisten todennäköisyyttä, ja ne voivat toteutua yhtä aikaa. Toisensa poissulkevat (erilliset) tapahtumat eivät voi toteutua samanaikaisesti, joten niiden yhteistodennäköisyys on aina 0 ja yhdiste on todennäköisyyksien summa.
Miten lasken todennäköisyyden, että vähintään yksi tapahtuu?
Riippumattomille tapahtumille kätevin tapa on vähentää ykkösestä todennäköisyys, ettei mikään tapahdu: P(vähintään yksi) = 1 − (1 − P(A))(1 − P(B))(1 − P(C)). Esimerkiksi 1 − 0,5 × 0,6 × 0,7 = 1 − 0,21 = 0,79. Tämä on usein helpompi kuin laskea kaikki päällekkäisyydet erikseen.
Miten yhdiste P(A tai B tai C) lasketaan?
Toisensa poissulkeville tapahtumille yhdiste on summa: P(A) + P(B) + P(C). Riippumattomille tapahtumille käytetään yhteenlaskukaavaa, joka vähentää päällekkäisyydet: P(A) + P(B) + P(C) − P(A)P(B) − P(A)P(C) − P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C). Tämä antaa saman tuloksen kuin komplementtikaava 1 − (1 − P(A))(1 − P(B))(1 − P(C)).
Voiko todennäköisyyksien summa ylittää ykkösen?
Yksittäinen todennäköisyys on aina välillä 0–1. Toisensa poissulkevien tapahtumien todennäköisyyksien summan tulee olla enintään 1, koska ne kuvaavat erillisiä osia. Jos annat poissulkeviksi merkityille tapahtumille todennäköisyydet, joiden summa ylittää 1, syötteet eivät voi kuvata oikeita poissulkevia tapahtumia. Riippumattomilla tapahtumilla summa voi yksittäisinä ylittää 1, koska ne voivat toteutua yhtä aikaa.
Oliko tästä laskurista apua?