Syöttötapa
Suora kaava
Anna yhteistodennäköisyys P(A ∩ B) ja ehtotapahtuman todennäköisyys P(B) desimaalilukuina (0–1).
Ehdollinen todennäköisyys
Laske ehdollinen todennäköisyys P(A|B) kaavalla P(A ∩ B) ÷ P(B) ja tarkista tapahtumien riippumattomuus.
Tulokset
Ehdollinen todennäköisyys – todennäköisyys lisätiedon valossa
Ehdollinen todennäköisyys kertoo, kuinka todennäköinen tapahtuma A on, kun tiedetään tapahtuman B sattuneen. Tämä laskuri laskee P(A|B):n kaavalla P(A ∩ B) ÷ P(B). Voit antaa suoraan yhteistodennäköisyyden ja ehtotapahtuman tai kaikki kolme todennäköisyyttä, jolloin saat myös käänteisen ehdollisen todennäköisyyden P(B|A) ja riippumattomuustarkistuksen.
Määritelmä
Kun ehto B tunnetaan, tarkasteltava perusjoukko kapenee niihin tapauksiin, joissa B toteutuu. Ehdollinen todennäköisyys P(A|B) on se osuus näistä tapauksista, joissa myös A toteutuu. Ehto siis päivittää todennäköisyyttä uuden tiedon valossa.
Kaava ja selitys
Ehdollinen todennäköisyys lasketaan kaavalla:
P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)
Tässä P(A ∩ B) on yhteistodennäköisyys eli todennäköisyys, että sekä A että B tapahtuvat, ja P(B) on ehtotapahtuman todennäköisyys (P(B) > 0). Vastaavasti käänteinen ehdollinen todennäköisyys on:
P(B | A) = P(A ∩ B) ÷ P(A)
Tapahtumat ovat riippumattomia, jos P(A ∩ B) = P(A) · P(B), jolloin P(A|B) = P(A).
Vaiheittainen esimerkki
Korttipakasta nostetaan yksi kortti. A = kortti on kuningas, B = kortti on kuvakortti (jätkä, kuningatar tai kuningas). Pakassa on 52 korttia, 12 kuvakorttia ja 4 kuningasta.
- P(B) = 12 ÷ 52 ja P(A ∩ B) = 4 ÷ 52 (kaikki kuninkaat ovat kuvakortteja).
- P(A|B) = (4 ÷ 52) ÷ (12 ÷ 52) = 4 ÷ 12 = 0,333… eli noin 33,3 %.
- Tieto siitä, että kortti on kuvakortti, nostaa kuninkaan todennäköisyyden arvosta 4 ÷ 52 ≈ 7,7 % arvoon 33,3 %.
Tuloksen tulkinta
Vertaa ehdollista todennäköisyyttä alkuperäiseen:
- P(A|B) > P(A): ehto tekee A:sta todennäköisemmän.
- P(A|B) < P(A): ehto tekee A:sta epätodennäköisemmän.
- P(A|B) = P(A): tapahtumat ovat riippumattomia.
Käyttökohteet
- Diagnostiikka: sairauden todennäköisyys positiivisen testin jälkeen.
- Riskinarviointi: tapahtuman todennäköisyys tietyissä olosuhteissa.
- Korttipelit ja arpajaiset: todennäköisyydet osittaisen tiedon valossa.
- Bayesin päättely: ehdollinen todennäköisyys on Bayesin kaavan perusta.
Missä ehdollista todennäköisyyttä käsitellään opinnoissa?
Ehdollinen todennäköisyys on todennäköisyyslaskennan keskeisiä käsitteitä. Lukion matematiikassa se opetellaan todennäköisyyskurssilla yhteistodennäköisyyden ja riippumattomuuden yhteydessä. Se on perustana Bayesin kaavalle ja kokonaistodennäköisyyden lauseelle sekä monille tilastollisen päättelyn menetelmille.
Usein kysytyt kysymykset
Mitä ehdollinen todennäköisyys tarkoittaa?
Ehdollinen todennäköisyys P(A|B) kertoo tapahtuman A todennäköisyyden, kun tiedetään, että tapahtuma B on jo sattunut. Toisin sanoen otetaan huomioon vain ne tilanteet, joissa B toteutuu, ja kysytään, kuinka suuressa osassa niistä myös A toteutuu. Esimerkiksi todennäköisyys, että nostettu kortti on kuningas (A), kun tiedetään sen olevan kuvakortti (B), on ehdollinen todennäköisyys.
Mikä on ehdollisen todennäköisyyden kaava?
Kaava on P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B), jossa P(A ∩ B) on todennäköisyys, että sekä A että B tapahtuvat (yhteistodennäköisyys), ja P(B) on ehtotapahtuman todennäköisyys. Jakaja P(B) on oltava suurempi kuin nolla. Esimerkiksi jos P(A ∩ B) = 0,2 ja P(B) = 0,5, niin P(A|B) = 0,2 ÷ 0,5 = 0,4.
Onko P(A|B) sama kuin P(B|A)?
Ei yleensä. P(A|B) ja P(B|A) ovat eri suureita, ellei P(A) = P(B). P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) ja P(B|A) = P(A ∩ B) ÷ P(A). Niillä on sama osoittaja mutta eri jakaja. Näiden kahden sekoittaminen on yleinen virhe, jota kutsutaan käänteistodennäköisyyden harhaksi. Bayesin kaava kertoo, miten ne liittyvät toisiinsa.
Mitä riippumattomuus tarkoittaa ehdollisessa todennäköisyydessä?
Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos toisen tapahtuminen ei muuta toisen todennäköisyyttä, eli P(A|B) = P(A). Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Jos näin on, ehdon B tieto ei vaikuta A:n todennäköisyyteen. Laskuri tarkistaa riippumattomuuden, kun annat kaikki kolme todennäköisyyttä.
Voiko ehdollinen todennäköisyys olla suurempi kuin alkuperäinen?
Kyllä. Ehto voi sekä kasvattaa että pienentää tapahtuman todennäköisyyttä. Jos B:n tieto tekee A:sta todennäköisemmän, P(A|B) on suurempi kuin P(A); jos se tekee A:sta epätodennäköisemmän, P(A|B) on pienempi. Vain riippumattomuuden tapauksessa P(A|B) = P(A). Ehdollinen todennäköisyys on aina väliltä 0–1.
Oliko tästä laskurista apua?