Matriisin jälki -laskuri
Valitse matriisin koko, syötä alkiot ruudukkoon ja lue jälki oikealta. Vain päälävistäjän alkioilla (a₁₁, a₂₂, a₃₃) on merkitystä. Desimaaleissa voit käyttää pilkkua tai pistettä.
Matriisin jälki
Laske neliömatriisin jälki eli päälävistäjän alkioiden summa – syötä matriisin alkiot, niin saat tuloksen heti.
Tulokset
Matriisin jälki – laske päälävistäjän summa
Tällä laskurilla lasket neliömatriisin jäljen eli trace-arvon. Jälki on yksinkertainen mutta tärkeä lineaarialgebran suure: se on matriisin päälävistäjän alkioiden summa. Syötä 2×2- tai 3×3-matriisin alkiot ruudukkoon, niin näet jäljen heti yhdessä käytettyjen lävistäjäalkioiden kanssa.
Mikä on matriisin jälki?
Neliömatriisin jälki (trace) on sen päälävistäjän alkioiden summa. Päälävistäjä kulkee matriisin vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan ja koostuu alkioista, joiden rivi- ja sarakeindeksi ovat samat:
tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + … + aₙₙ
Jälki on yksittäinen luku, ja se on määritelty ainoastaan neliömatriiseille. Lävistäjän ulkopuoliset alkiot eivät vaikuta jäljen arvoon.
Laskentamenetelmä
Jäljen laskeminen on suoraviivaista: poimitaan päälävistäjän alkiot ja lasketaan ne yhteen. 2×2-matriisille jälki on a₁₁ + a₂₂ ja 3×3-matriisille a₁₁ + a₂₂ + a₃₃. Mitään muita laskutoimituksia ei tarvita, joten jälki on yksi nopeimmin laskettavista matriisin tunnusluvuista.
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan matriisin [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] jälki.
- Poimitaan päälävistäjän alkiot: a₁₁ = 1, a₂₂ = 5 ja a₃₃ = 9.
- Lasketaan ne yhteen: 1 + 5 + 9 = 15.
Matriisin jälki on siis tr(A) = 15. Huomaa, että lukuja kuten 2, 3, 4, 6, 7 ja 8 ei käytetä lainkaan, koska ne eivät ole päälävistäjällä.
Jäljen ominaisuuksia
- Lineaarisuus: tr(A + B) = tr(A) + tr(B) ja tr(cA) = c · tr(A).
- Tulon kierto: tr(AB) = tr(BA), vaikka yleisesti AB ≠ BA.
- Transpoosi: tr(Aᵀ) = tr(A), sillä transponointi ei muuta päälävistäjää.
- Similaarisuus: tr(P⁻¹AP) = tr(A), joten jälki on muunnoksessa säilyvä invariantti.
Jälki ja ominaisarvot
Yksi jäljen tärkeimmistä ominaisuuksista on sen yhteys ominaisarvoihin. Neliömatriisin jälki on yhtä suuri kuin sen ominaisarvojen summa:
tr(A) = λ₁ + λ₂ + … + λₙ
Vastaavasti matriisin determinantti on ominaisarvojen tulo. Nämä kaksi tunnuslukua näkyvät myös karakteristisessa polynomissa: 2×2-matriisille karakteristinen yhtälö on λ² − tr(A)·λ + det(A) = 0, jossa jälki esiintyy ensimmäisen asteen termin kertoimena.
Mihin jälkeä käytetään?
Jälkeä hyödynnetään muun muassa ominaisarvojen ja karakteristisen polynomin laskennassa, matriisin invarianttien tutkimisessa sekä fysiikassa ja tilastotieteessä. Esimerkiksi kovarianssimatriisin jälki kuvaa kokonaisvaihtelua, ja kvanttimekaniikassa jälki liittyy odotusarvoihin. Yksinkertaisuudestaan huolimatta jälki on siis hyödyllinen ja usein toistuva työkalu.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on matriisin jälki?
Matriisin jälki eli trace on neliömatriisin päälävistäjän alkioiden summa. Päälävistäjä kulkee vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan, eli siihen kuuluvat alkiot a₁₁, a₂₂, …, aₙₙ. Jälki merkitään tr(A), ja se on yksittäinen luku. Esimerkiksi matriisin [[2, 5], [1, 3]] jälki on 2 + 3 = 5.
Miten jälki lasketaan?
Jälki lasketaan yksinkertaisesti laskemalla päälävistäjän alkiot yhteen: tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + … + aₙₙ. Lävistäjän ulkopuolisilla alkioilla ei ole vaikutusta jälkeen. Tämä laskuri laskee summan automaattisesti, kun syötät matriisin alkiot.
Onko jälki määritelty kaikille matriiseille?
Jälki on määritelty vain neliömatriiseille eli matriiseille, joissa on yhtä monta riviä kuin saraketta. Suorakulmaisella matriisilla (esimerkiksi 2×3) ei ole päälävistäjää koko matriisin yli samalla tavalla, joten jälkeä ei lasketa. Tämä laskuri käsittelee 2×2- ja 3×3-neliömatriiseja.
Mihin jälkeä käytetään?
Jälki esiintyy monessa lineaarialgebran yhteydessä. Tärkein tulos on, että matriisin jälki on yhtä suuri kuin sen ominaisarvojen summa. Lisäksi jälki säilyy similaarisuusmuunnoksessa, joten tr(P⁻¹AP) = tr(A). Jälkeä käytetään muun muassa ominaisarvojen, karakteristisen polynomin ja matriisin invarianttien tutkimisessa.
Mikä on jäljen ja ominaisarvojen yhteys?
Neliömatriisin jälki on yhtä suuri kuin sen ominaisarvojen summa: tr(A) = λ₁ + λ₂ + … + λₙ. Vastaavasti determinantti on ominaisarvojen tulo. Nämä kaksi suuretta esiintyvät myös karakteristisessa polynomissa: 2×2-matriisin karakteristinen yhtälö on λ² − tr(A)·λ + det(A) = 0.
Oliko tästä laskurista apua?