Sarjan summa
Valitse sarjan tyyppi ja syötä ensimmäinen termi, erotus tai suhde sekä termien määrä.
Sarjan summa -laskuri
Laske äärellisen sarjan summa: valitse aritmeettinen tai geometrinen sarja, syötä ensimmäinen termi, erotus tai suhde ja termien määrä.
Tulokset
Sarjan summa -laskuri
Tällä laskurilla voit laskea äärellisen sarjan summan sekä aritmeettiselle että geometriselle sarjalle. Laskuri näyttää summakaavan, viimeisen termin ja geometrisella sarjalla myös äärettömän summan, kun sellainen on olemassa.
Mikä sarja on?
Sarja tarkoittaa lukujonon termien summaa. Jos lukujono on luettelo lukuja, sarja on niiden yhteenlasku:
jono: 2, 5, 8, 11 → sarja: 2 + 5 + 8 + 11 = 26
Äärellinen sarja sisältää tietyn määrän termejä, ja sen summa on yksittäinen luku.
Aritmeettinen sarja
Aritmeettisessa sarjassa peräkkäisten termien erotus d on vakio. Summa lasketaan kaavalla:
S = n/2 · (2a + (n−1)d)
Tässä a on ensimmäinen termi, d erotus ja n termien määrä. Sama tulos saadaan kaavalla S = n · (ensimmäinen + viimeinen) / 2, koska sarjan termit pariutuvat keskenään yhtä suuriksi summiksi.
Vaiheittainen esimerkki – aritmeettinen
Lasketaan sarjan 2 + 5 + 8 + 11 + 14 summa. Tässä a = 2, d = 3 ja n = 5:
S = 5/2 · (2·2 + (5−1)·3)
S = 5/2 · (4 + 12)
S = 5/2 · 16 = 40
Sarjan summa on 40. Tarkistus: 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40.
Geometrinen sarja
Geometrisessa sarjassa peräkkäisten termien suhde r on vakio. Summa lasketaan kaavalla:
S = a · (1 − rⁿ) / (1 − r), kun r ≠ 1
Kun r = 1, kaikki termit ovat yhtä suuria ja summa on yksinkertaisesti n · a.
Vaiheittainen esimerkki – geometrinen
Lasketaan sarjan 3 + 6 + 12 + 24 summa. Tässä a = 3, r = 2 ja n = 4:
S = 3 · (1 − 2⁴) / (1 − 2)
S = 3 · (1 − 16) / (−1)
S = 3 · 15 = 45
Sarjan summa on 45. Tarkistus: 3 + 6 + 12 + 24 = 45.
Äärettömän geometrisen sarjan summa
Jos suhdeluvun itseisarvo on alle 1, termit pienenevät jatkuvasti ja sarjan summa lähestyy raja-arvoa, vaikka termejä olisi äärettömän monta:
S = a / (1 − r), kun |r| < 1
Esimerkiksi sarja 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … lähestyy lukua 1 / (1 − 1/2) = 2.
Käyttökohteet
Sarjojen summia tarvitaan korkolaskennassa, kun lasketaan toistuvien talletusten kertymää, sekä fysiikassa ja tekniikassa. Aritmeettinen sarja kuvaa tasaisesti kasvavaa kertymää ja geometrinen sarja prosentuaalisesti muuttuvaa, kuten koronkorkoa. Lukujonojen opiskelussa sarjojen summat ovat keskeinen aihe.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä ero on lukujonolla ja sarjalla?
Lukujono on järjestetty luettelo lukuja, kuten 2, 5, 8, 11. Sarja taas tarkoittaa näiden lukujen summaa: 2 + 5 + 8 + 11. Sarjan summa on yksittäinen luku, joka kertoo, paljonko jonon termit yhteensä ovat.
Miten aritmeettisen sarjan summa lasketaan?
Aritmeettisen sarjan summa lasketaan kaavalla S = n/2 · (2a + (n−1)d), jossa a on ensimmäinen termi, d termien erotus ja n termien määrä. Sama tulos saadaan kaavalla S = n · (ensimmäinen + viimeinen) / 2, koska termit pariutuvat keskenään yhtä suuriksi summiksi.
Miten geometrisen sarjan summa lasketaan?
Geometrisen sarjan summa lasketaan kaavalla S = a · (1 − rⁿ) / (1 − r), jossa a on ensimmäinen termi, r suhdeluku ja n termien määrä. Kun r = 1, kaikki termit ovat yhtä suuria ja summa on yksinkertaisesti n · a.
Mitä tarkoittaa äärettömän sarjan summa?
Jos geometrisen sarjan suhdeluvun itseisarvo on alle 1, termit pienenevät jatkuvasti ja niiden summa lähestyy raja-arvoa. Tämä ääretön summa lasketaan kaavalla S = a / (1 − r). Esimerkiksi sarja 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … lähestyy lukua 2.
Voiko erotus tai suhde olla negatiivinen?
Kyllä. Aritmeettisessa sarjassa negatiivinen erotus tarkoittaa, että termit pienenevät. Geometrisessa sarjassa negatiivinen suhde aiheuttaa termien etumerkin vaihtelun, jolloin termit ovat vuoroin positiivisia ja negatiivisia. Laskuri käsittelee molemmat tapaukset.
Oliko tästä laskurista apua?