Peräkkäiset kokonaisluvut
Valitse, ratkaisetko luvut summan perusteella vai lasketko annetuista luvuista summan ja keskiarvon.
Lukuja:
Peräkkäiset kokonaisluvut -laskuri
Ratkaise peräkkäiset kokonaisluvut summan perusteella tai laske annetuista luvuista summa ja keskiarvo. Esimerkiksi kolme peräkkäistä lukua, joiden summa on 72, ovat 23, 24 ja 25.
Tulokset
Peräkkäiset kokonaisluvut -laskuri
Tällä laskurilla voit ratkaista peräkkäiset kokonaisluvut annetusta summasta tai laskea valmiista luvuista niiden summan ja keskiarvon. Laskuri näyttää koko lukujonon ja kertoo, onko kokonaislukuratkaisu olemassa.
Mitä peräkkäiset kokonaisluvut ovat?
Peräkkäiset kokonaisluvut seuraavat toisiaan ilman aukkoja: jokainen luku on yhtä suurempi kuin edellinen. Esimerkkejä ovat 4, 5, 6 ja −2, −1, 0. Tällaisia lukujoukkoja käytetään usein lukujonotehtävissä.
a, a+1, a+2, …, a+(k−1)
Tässä a on pienin luku ja k kertoo, montako peräkkäistä lukua jonossa on.
Summan kaava
Kun lasketaan k peräkkäisen luvun summa, saadaan kätevä kaava. Summa muodostuu k kertaa pienimmästä luvusta lisättynä lukujen sisäisellä kasvulla:
S = k · a + k(k−1)/2
Kaavan jälkimmäinen osa k(k−1)/2 on lukujen 0, 1, 2, … (k−1) summa, joka kertyy, kun luvut kasvavat yhdellä kerrallaan.
Ratkaisu summasta
Kun summa S ja lukujen määrä k tunnetaan, ensimmäinen luku saadaan ratkaisemalla kaava a:n suhteen:
a = (S − k(k−1)/2) ÷ k
Ratkaisu kelpaa vain, jos a on kokonaisluku. Muuten annetulla summalla ei ole peräkkäisistä kokonaisluvuista koostuvaa ratkaisua.
Vaiheittainen esimerkki
Etsitään kolme peräkkäistä lukua, joiden summa on 72. Tässä k = 3 ja S = 72:
a = (72 − 3·2/2) ÷ 3
a = (72 − 3) ÷ 3
a = 69 ÷ 3 = 23
Ensimmäinen luku on 23, joten luvut ovat 23, 24 ja 25. Tarkistus: 23 + 24 + 25 = 72.
Keskiarvo
Peräkkäisten kokonaislukujen keskiarvo on jonon keskikohta. Se lasketaan ensimmäisen ja viimeisen luvun keskiarvona ja vastaa summaa jaettuna lukujen määrällä:
keskiarvo = (ensimmäinen + viimeinen) ÷ 2 = S ÷ k
Jos lukuja on pariton määrä, keskiarvo on täsmälleen keskimmäinen luku. Esimerkissä keskiarvo on 72 ÷ 3 = 24, eli keskimmäinen luku.
Milloin ratkaisua ei ole?
Kaikilla summilla ei ole peräkkäisistä kokonaisluvuista koostuvaa ratkaisua tietyllä lukumäärällä. Kahdelle luvulle summan on oltava pariton, kolmelle luvulle jaollinen kolmella ja yleisesti a:n on tultava kokonaisluvuksi. Jos näin ei käy, laskuri ilmoittaa, ettei kokonaislukuratkaisua ole.
Käyttökohteet
Peräkkäisten kokonaislukujen tehtävät ovat klassinen tapa harjoitella yhtälönmuodostusta yläkoulun ja lukion matematiikassa. Samaa ajattelua käytetään myös summakaavojen ymmärtämisessä sekä lukujonojen ja sarjojen perusteissa.
Usein kysytyt kysymykset
Mitä peräkkäiset kokonaisluvut tarkoittavat?
Peräkkäiset kokonaisluvut ovat lukuja, jotka seuraavat toisiaan ilman välejä, kuten 7, 8, 9 tai −2, −1, 0. Jokainen luku on yhtä suurempi kuin edellinen. Niitä käytetään usein matematiikan tehtävissä, joissa etsitään lukuja annetun summan tai keskiarvon perusteella.
Miten lasken kolme peräkkäistä lukua, joiden summa tunnetaan?
Merkitse pienintä lukua kirjaimella a, jolloin luvut ovat a, a+1 ja a+2 ja niiden summa on 3a + 3. Aseta tämä yhtä suureksi kuin annettu summa ja ratkaise a. Esimerkiksi jos summa on 72, niin 3a + 3 = 72, josta a = 23. Luvut ovat 23, 24 ja 25.
Onko ratkaisu aina olemassa?
Ei aina. Jotta peräkkäiset kokonaisluvut löytyvät, ensimmäisen luvun on oltava kokonaisluku. Esimerkiksi kahdelle peräkkäiselle luvulle summan on oltava pariton, ja kolmelle luvulle summan on oltava jaollinen kolmella. Jos ehto ei täyty, kokonaislukuratkaisua ei ole.
Mikä on peräkkäisten lukujen keskiarvo?
Peräkkäisten kokonaislukujen keskiarvo on aina jonon keskimmäinen luku, jos lukuja on pariton määrä. Keskiarvo lasketaan kaavalla (ensimmäinen + viimeinen) ÷ 2, ja se on yhtä suuri kuin summa jaettuna lukujen määrällä.
Voiko peräkkäiset luvut olla negatiivisia?
Kyllä. Peräkkäiset kokonaisluvut voivat olla negatiivisia tai ylittää nollan, esimerkiksi −1, 0, 1. Laskuri käsittelee myös negatiiviset lähtöarvot, joten se toimii kaikilla kokonaisluvuilla.
Oliko tästä laskurista apua?