Neliöluvut-laskuri

Tällä laskurilla voit laskea minkä tahansa neliöluvun tai tarkistaa, onko annettu luku täydellinen neliö. Lisäksi näet luvun neliöjuuren, jonon alkupään sekä neliölukujen kumulatiivisen summan.

Mikä neliöluku on?

Neliöluku eli täydellinen neliö on luku, joka saadaan kertomalla kokonaisluku itsellään. Pisteet voidaan järjestää neliön muotoon, mistä nimi tulee:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 …

Esimerkiksi 36 on neliöluku, koska 6 · 6 = 36.

Neliöluvun kaava

Neliöluku lasketaan korottamalla järjestysluku toiseen potenssiin:

aₙ = n² = n · n

Toinen potenssi tarkoittaa, että luku kerrotaan itsellään kerran. Käänteinen toimitus on neliöjuuri, joka palauttaa alkuperäisen luvun.

Vaiheittainen esimerkki

Lasketaan seitsemäs neliöluku. Tässä n = 7:

a₇ = 7²
a₇ = 7 · 7
a₇ = 49

Seitsemäs neliöluku on siis 49.

Onko luku täydellinen neliö?

Luvun voi tarkistaa neliöjuuren avulla. Luku x on täydellinen neliö täsmälleen silloin, kun sen neliöjuuri on kokonaisluku:

x on täydellinen neliö ⇔ √x on kokonaisluku

Esimerkiksi √49 = 7 on kokonaisluku, joten 49 on täydellinen neliö. Sen sijaan √50 ≈ 7,07 ei ole kokonaisluku, joten 50 ei ole.

Loppunumeron tarkistus

Nopea tapa sulkea pois osa luvuista on katsoa viimeistä numeroa. Täydellinen neliö voi päättyä vain numeroihin 0, 1, 4, 5, 6 tai 9 – ei koskaan numeroihin 2, 3, 7 tai 8. Tämä ei yksin riitä todistukseksi, mutta nopeuttaa tarkistusta.

Neliöluvut ja parittomat luvut

Peräkkäisten parittomien lukujen summa on aina neliöluku:

1 + 3 + 5 + … + (2n−1) = n²

Esimerkiksi 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4². Jokainen neliöluku saadaan siis edellisestä lisäämällä seuraava pariton luku.

Neliölukujen summa

Kun neliöluvut lasketaan yhteen järjestyksessä, summalle on oma kaava:

1² + 2² + … + n² = n(n+1)(2n+1)/6

Esimerkiksi ensimmäisten kolmen neliöluvun summa on 1 + 4 + 9 = 14 = 3·4·7/6.

Käyttökohteet

Neliöluvut ovat keskeisiä geometriassa pinta-alojen laskennassa ja algebrassa toisen asteen yhtälöissä. Niitä tarvitaan myös Pythagoraan lauseen ja etäisyyksien laskennassa. Lukujonojen opiskelussa ne ovat klassinen esimerkki potenssiin perustuvasta jonosta.

Usein kysytyt kysymykset

Mikä on neliöluku?

Neliöluku eli täydellinen neliö on luku, joka saadaan kertomalla kokonaisluku itsellään. Esimerkiksi 25 on neliöluku, koska 5 · 5 = 25. Nimi tulee siitä, että pisteet voidaan asetella neliön muotoon. Pienimmät neliöluvut ovat 1, 4, 9, 16, 25 ja 36.

Miten neliöluku lasketaan?

Neliöluku lasketaan korottamalla järjestysluku toiseen potenssiin: n² = n · n. Esimerkiksi seitsemäs neliöluku on 7² = 49. Toinen potenssi tarkoittaa luvun kertomista itsellään.

Miten tarkistan, onko luku täydellinen neliö?

Ota luvusta neliöjuuri. Jos neliöjuuri on kokonaisluku, luku on täydellinen neliö. Esimerkiksi √49 = 7 on kokonaisluku, joten 49 on täydellinen neliö, kun taas √50 ≈ 7,07 ei ole, joten 50 ei ole.

Mihin päättyy neliöluku?

Neliöluku voi päättyä vain numeroihin 0, 1, 4, 5, 6 tai 9. Se ei koskaan pääty numeroon 2, 3, 7 tai 8. Tämä on kätevä nopea tarkistus: jos luku päättyy esimerkiksi numeroon 7, se ei voi olla täydellinen neliö.

Mikä yhteys neliöluvuilla ja parittomilla luvuilla on?

Peräkkäisten parittomien lukujen summa on aina neliöluku. Esimerkiksi 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4². Tästä seuraa, että jokainen neliöluku saadaan edellisestä lisäämällä seuraava pariton luku.

Neliöluvut-laskuri

Neliöluvut

Tulokset