Kolmioluvut-laskuri

Tällä laskurilla voit laskea minkä tahansa kolmioluvun kaavalla tai tarkistaa, onko annettu luku kolmioluku. Lisäksi näet jonon alkupään sekä kolmiolukujen kumulatiivisen summan.

Mikä kolmioluku on?

Kolmioluku on luku, joka saadaan laskemalla yhteen luonnolliset luvut ykkösestä alkaen. Pisteet voidaan järjestää tasasivuiseksi kolmioksi, mistä nimi tulee:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 …

Esimerkiksi neljäs kolmioluku on 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

Kolmioluvun kaava

Kolmioluku lasketaan nopeasti summakaavalla. Sen sijaan, että lukuja laskettaisiin yksitellen yhteen, käytetään kaavaa:

Tₙ = n(n+1)/2

Kaava perustuu siihen, että lukujonon voi pariuttaa: ensimmäinen ja viimeinen luku, toinen ja toiseksi viimeinen ja niin edelleen muodostavat kukin saman summan.

Vaiheittainen esimerkki

Lasketaan viides kolmioluku. Tässä n = 5:

T₅ = 5·(5+1)/2
T₅ = 5·6/2
T₅ = 30/2 = 15

Viides kolmioluku on siis 15. Sama tulos saadaan laskemalla 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.

Onko luku kolmioluku?

Luvun kolmiolukuisuuden voi tarkistaa kätevästi. Luku x on kolmioluku täsmälleen silloin, kun 8x + 1 on täydellinen neliö:

x on kolmioluku ⇔ 8x + 1 on neliöluku
n = (√(8x+1) − 1) / 2

Esimerkiksi luvulle 15: 8·15 + 1 = 121 = 11², joten 15 on kolmioluku ja sen järjestysluku on (11 − 1)/2 = 5.

Kolmioluvut ja neliöluvut

Kahden peräkkäisen kolmioluvun summa on aina neliöluku:

Tₙ₋₁ + Tₙ = n²

Esimerkiksi T₃ + T₄ = 6 + 10 = 16 = 4². Tämä yhteys havainnollistuu, kun kaksi kolmiota asetellaan vierekkäin neliöksi.

Kolmiolukujen summa

Kun kolmiolukuja lasketaan yhteen järjestyksessä, syntyy tetraedriluku eli kolmiulotteinen vastine:

T₁ + T₂ + … + Tₙ = n(n+1)(n+2)/6

Esimerkiksi ensimmäisten neljän kolmioluvun summa on 1 + 3 + 6 + 10 = 20 = 4·5·6/6.

Käyttökohteet

Kolmioluvut vastaavat moniin arkisiin kysymyksiin. Ne kertovat, montako kättelyä tarvitaan ryhmässä, jossa jokainen kättelee jokaista, tai montako janaa annettu määrä pisteitä muodostaa. Lukuteoriassa ja kombinatoriikassa kolmioluvut esiintyvät yhdistelmien laskennassa.

Usein kysytyt kysymykset

Mikä on kolmioluku?

Kolmioluku on luku, joka saadaan laskemalla yhteen luonnolliset luvut ykkösestä lähtien. Esimerkiksi kolmas kolmioluku on 1 + 2 + 3 = 6. Nimi tulee siitä, että pisteet voidaan asetella tasasivuiseksi kolmioksi. Pienimmät kolmioluvut ovat 1, 3, 6, 10, 15 ja 21.

Miten kolmioluku lasketaan?

Kolmioluku lasketaan kaavalla Tₙ = n(n+1)/2, jossa n on järjestysluku. Esimerkiksi viides kolmioluku on T₅ = 5·6/2 = 15. Kaava antaa saman tuloksen kuin lukujen 1, 2, …, n laskeminen yhteen, mutta huomattavasti nopeammin.

Miten tarkistan, onko luku kolmioluku?

Luku x on kolmioluku silloin, kun 8x + 1 on täydellinen neliö. Jos näin on, järjestysluku saadaan kaavasta n = (√(8x+1) − 1) / 2. Esimerkiksi luvulle 15: 8·15 + 1 = 121 = 11², joten 15 on kolmioluku ja sen järjestysluku on (11 − 1)/2 = 5.

Mikä yhteys kolmioluvuilla ja neliöluvuilla on?

Kahden peräkkäisen kolmioluvun summa on aina neliöluku. Esimerkiksi T₃ + T₄ = 6 + 10 = 16 = 4². Tämä on yksi kauneimmista lukujonojen välisistä yhteyksistä, ja sen voi havainnollistaa asettelemalla kaksi kolmiota neliöksi.

Mihin kolmiolukuja käytetään?

Kolmioluvut kertovat esimerkiksi, montako kättelyä tarvitaan, kun jokainen ryhmän jäsen kättelee kaikkia muita, tai montako viivaa yhdistää annetun pistemäärän. Niitä käytetään myös todennäköisyyslaskennassa yhdistelmien laskemiseen.

Kolmioluvut-laskuri

Kolmioluvut

Tulokset