Alkulukulaskuri

Tämä laskuri tarkistaa, onko annettu luku alkuluku, tai listaa kaikki alkuluvut valittuun rajaan asti. Yksittäisestä luvusta laskuri näyttää myös pienimmän tekijän ja lähimmät alkuluvut.

Mikä alkuluku on?

Alkuluku on ykköstä suurempi kokonaisluku, jolla on täsmälleen kaksi positiivista tekijää: ykkönen ja luku itse. Toisin sanoen alkulukua ei voi jakaa tasan millään muulla luvulla.

Alkuluvut: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 …

Luku 2 on pienin alkuluku ja ainoa parillinen alkuluku. Lukua 1 ei lasketa alkuluvuksi, koska sillä on vain yksi tekijä.

Alkuluku vai yhdistetty luku?

Ykköstä suuremmat luvut jakautuvat alkulukuihin ja yhdistettyihin lukuihin. Yhdistetty luku on jaollinen jollakin muullakin luvulla kuin ykkösellä ja itsellään:

21 = 3 · 7 → yhdistetty luku

Yhdistetyn luvun voi aina kirjoittaa alkulukujen tulona, mitä kutsutaan alkutekijähajotelmaksi.

Näin tarkistat alkuluvun

Luvun alkulukuisuus selvitetään kokeilemalla jaollisuutta. Riittää tarkistaa jakajat luvun neliöjuureen asti, koska sitä suuremmat tekijät esiintyisivät aina parina pienemmän kanssa:

Tarkista, onko luku jaollinen kahdella, kolmella, viidellä ja niin edelleen.
Jatka jakajan neliöön asti: jos jakaja d toteuttaa d · d > n, lukua ei tarvitse tutkia pidemmälle.
Jos mikään jakaja ei mene tasan, luku on alkuluku.

Vaiheittainen esimerkki

Tarkistetaan, onko 29 alkuluku. Neliöjuuri √29 ≈ 5,39, joten riittää kokeilla jakajia 5:een asti:

29 ÷ 2 ei mene tasan
29 ÷ 3 ei mene tasan
29 ÷ 5 ei mene tasan

Yksikään jakaja ei mene tasan, joten 29 on alkuluku. Vertailun vuoksi 21 ei ole, sillä 21 ÷ 3 = 7.

Eratostheneen seula

Kun halutaan kaikki alkuluvut tiettyyn rajaan asti, tehokas menetelmä on Eratostheneen seula. Siinä luetellaan luvut ja yliviivataan jokaisen alkuluvun monikerrat, jolloin jäljelle jäävät alkuluvut. Tämä laskuri käyttää listaustilassa juuri tätä menetelmää.

Alkulukujen esiintyminen

Alkulukuja on äärettömän monta, mutta ne harvenevat suurilla luvuilla. Lukujen 1–100 joukossa on 25 alkulukua, mutta lukujen 1–1000 joukossa enää 168. Alkulukujen jakautuminen on yksi lukuteorian klassisista tutkimusaiheista.

Alkuluvut koulussa ja tekniikassa

Alkuluvut opitaan yläkoulun matematiikassa jaollisuuden ja alkutekijähajotelman yhteydessä. Niillä on myös käytännön merkitystä: suuriin alkulukuihin perustuu nykyinen tiedon salaus, jossa lukujen tekijöihin jakamisen vaikeus tekee viesteistä turvallisia.

Usein kysytyt kysymykset

Mikä on alkuluku?

Alkuluku on ykköstä suurempi kokonaisluku, jolla on täsmälleen kaksi positiivista tekijää: ykkönen ja luku itse. Se ei siis ole jaollinen millään muulla luvulla. Pienimmät alkuluvut ovat 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ja 29.

Onko luku 1 alkuluku?

Ei ole. Lukua 1 ei lasketa alkuluvuksi, koska sillä on vain yksi tekijä (se itse). Alkuluvun määritelmä edellyttää täsmälleen kahta eri tekijää. Myöskään nolla tai negatiiviset luvut eivät ole alkulukuja.

Miksi 2 on ainoa parillinen alkuluku?

Kaikki parilliset luvut ovat jaollisia kahdella. Luvulla 2 tämä tarkoittaa jaollisuutta vain ykkösellä ja itsellään, joten se on alkuluku. Kaikilla muilla parillisilla luvuilla on tekijänä 2 niiden itsensä lisäksi, joten ne eivät ole alkulukuja.

Miten tarkistan, onko luku alkuluku?

Kokeile, onko luku jaollinen jollakin alkuluvulla 2:sta lähtien. Riittää tarkistaa jakajat luvun neliöjuureen asti, sillä suuremmat tekijät esiintyisivät parina pienemmän kanssa. Jos yksikään ei jaa lukua tasan, luku on alkuluku. Esimerkiksi 29: ei jaollinen luvuilla 2, 3 eikä 5 (√29 ≈ 5,4), joten 29 on alkuluku.

Kuinka monta alkulukua on olemassa?

Alkulukuja on äärettömän monta, minkä todisti jo Eukleides antiikin aikana. Niitä esiintyy kuitenkin harvemmin, mitä suuremmista luvuista on kyse. Esimerkiksi lukujen 1–100 joukossa on 25 alkulukua.

Alkulukulaskuri

Alkuluvun tarkistus

Tulokset