Kolmion sivut
Syötä kolmion kolme sivua samassa yksikössä. Jokaisen sivun on oltava lyhyempi kuin kahden muun summa.
Pikavalinnat:
Ympäri piirretty ympyrä -laskuri
Laske kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde, halkaisija, kehä ja pinta-ala kolmesta sivusta: R = abc ÷ (4A).
Tulokset
Ympäri piirretty ympyrä -laskuri
Tämä laskuri laskee kolmion ympäri piirretyn ympyrän eli ympärysympyrän säteen, halkaisijan, kehän ja pinta-alan, kun tiedät kolmion kolme sivua. Ympärysympyrä on ympyrä, joka kulkee kolmion kaikkien kärkien kautta.
Mikä ympärysympyrä on?
Jokaisella kolmiolla on täsmälleen yksi ympyrä, joka kulkee sen kaikkien kolmen kärjen kautta. Tämän ympyrän keskipiste on sivujen keskinormaalien leikkauspiste, ja se on yhtä kaukana kaikista kärjistä. Tätä etäisyyttä kutsutaan ympärysympyrän säteeksi R.
Säteen kaava
Ympärysympyrän säde lasketaan kolmion sivuista ja pinta-alasta:
R = abc ÷ (4A)
Tässä a, b ja c ovat kolmion sivut ja A on sen pinta-ala. Koska ala harvoin tunnetaan suoraan, se lasketaan ensin sivuista Heronin kaavalla:
s = (a + b + c) ÷ 2
A = √(s(s − a)(s − b)(s − c))
Muut suureet
Kun säde tunnetaan, ympyrän halkaisija, kehä ja pinta-ala saadaan ympyrän peruskaavoista:
halkaisija = 2R, kehä = 2πR, ympyrän ala = πR²
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan suorakulmaisen kolmion a = 3, b = 4, c = 5 ympärysympyrä:
A = √(6 · 3 · 2 · 1) = 6
R = 3 · 4 · 5 ÷ (4 · 6) = 60 ÷ 24 = 2,5
Säde on 2,5, eli täsmälleen puolet hypotenuusasta 5. Tämä vahvistaa säännön, jonka mukaan suorakulmaisen kolmion hypotenuusa on ympärysympyrän halkaisija.
Keskipisteen sijainti
- Teräväkulmainen kolmio: keskipiste on kolmion sisällä.
- Suorakulmainen kolmio: keskipiste on hypotenuusan keskipisteessä.
- Tylppäkulmainen kolmio: keskipiste on kolmion ulkopuolella.
Ympärysympyrä ja sisäympyrä
Ympärysympyrä ympäröi kolmion ja koskettaa sitä kärjissä. Sen vastakohta on sisään piirretty ympyrä, joka sivuaa kolmion sivuja sisältä ja jonka säde on r = A ÷ s. Molemmat liittyvät kolmion alaan, mutta eri tavoin.
Käyttökohteet ja koulu
Ympärysympyrä liittyy sini- ja kosinilauseeseen: laajennetussa sinilauseessa a ÷ sin A = 2R, joten ympärysympyrän säde yhdistää kolmion sivut ja kulmat. Aihe kuuluu lukion pitkän matematiikan geometriaan ja trigonometriaan, ja sitä käytetään sekä tehtävissä että käytännön mittauksissa, kun halutaan löytää kolmesta pisteestä kulkeva ympyrä.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on kolmion ympäri piirretty ympyrä?
Ympäri piirretty ympyrä eli ympärysympyrä on ympyrä, joka kulkee kolmion kaikkien kolmen kärjen kautta. Sen keskipiste löytyy kolmion sivujen keskinormaalien leikkauspisteestä. Jokaisella kolmiolla on täsmälleen yksi ympärysympyrä.
Miten ympärysympyrän säde lasketaan?
Säde saadaan kaavalla R = abc ÷ (4A), missä a, b ja c ovat kolmion sivut ja A on sen pinta-ala. Pinta-ala lasketaan ensin sivuista Heronin kaavalla. Esimerkiksi kolmiolla 3, 4 ja 5 ala on 6 ja säde 3 · 4 · 5 ÷ (4 · 6) = 60 ÷ 24 = 2,5.
Missä on ympärysympyrän keskipiste?
Keskipiste on pisteessä, jossa kolmion sivujen keskinormaalit leikkaavat. Teräväkulmaisessa kolmiossa keskipiste on kolmion sisällä, suorakulmaisessa hypotenuusan keskipisteessä ja tylppäkulmaisessa kolmion ulkopuolella.
Miksi suorakulmaisen kolmion ympärysympyrän säde on puolet hypotenuusasta?
Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusa on ympärysympyrän halkaisija, joten säde on tasan puolet hypotenuusasta. Tämä seuraa Thaleen lauseesta: ympyrän halkaisijaa vastaava kehäkulma on aina suora. Esimerkiksi kolmiolla 3, 4, 5 säde on 5 ÷ 2 = 2,5.
Mitä eroa on ympäri ja sisään piirretyllä ympyrällä?
Ympäri piirretty ympyrä kulkee kolmion kärkien kautta ja ympäröi kolmion, kun taas sisään piirretty ympyrä sivuaa kolmion kaikkia sivuja sisältä. Ympärysympyrän säde on R = abc ÷ (4A), ja sisäympyrän säde on r = A ÷ s, missä s on puolipiiri.
Oliko tästä laskurista apua?