Tunnettu vastinsivupari
Anna yksi vastinsivupari. Niiden suhde a₂ ÷ a₁ on mittakaavakerroin.
Etsittävä sivu
Anna kolmion 1 sivu b₁, jonka vastinsivun b₂ haluat ratkaista.
Yhdenmuotoisten kolmioiden laskuri
Laske yhdenmuotoisten kolmioiden puuttuva sivu verrannosta: kun vastinsivut ovat suhteessa k = a₂ ÷ a₁, mikä tahansa sivu skaalautuu samalla kertoimella.
Tulokset
Yhdenmuotoisten kolmioiden laskuri
Tämä laskuri ratkaisee yhdenmuotoisten kolmioiden puuttuvan sivun verrannon avulla. Anna yksi tunnettu vastinsivupari ja se sivu, jonka vastinetta etsit. Saat lisäksi mittakaavakertoimen sekä pinta-alojen ja piirien suhteet.
Mitä yhdenmuotoisuus tarkoittaa?
Kaksi kolmiota ovat yhdenmuotoiset, kun niillä on sama muoto mutta mahdollisesti eri koko. Tällöin niiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivut ovat keskenään samassa suhteessa. Yhdenmuotoisuus on geometrian perustyökalu mittakaavan, karttojen ja epäsuoran mittaamisen tehtävissä.
Verrannolliset sivut
Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivut toteuttavat verrannon:
a₂ ÷ a₁ = b₂ ÷ b₁ = c₂ ÷ c₁ = k
Tässä k on mittakaavakerroin. Yhdestä tunnetusta vastinsivuparista saadaan k, ja sen avulla kaikki muut vastinsivut.
Puuttuvan sivun kaava
Kun tunnetaan vastinsivupari a₁ ja a₂ sekä ensimmäisen kolmion sivu b₁, puuttuva vastinsivu b₂ saadaan ristiin kertomalla:
b₂ = b₁ · (a₂ ÷ a₁)
Vaiheittainen esimerkki
Olkoon vastinsivut a₁ = 3 ja a₂ = 6 sekä ensimmäisen kolmion sivu b₁ = 4. Lasketaan mittakaavakerroin:
k = 6 ÷ 3 = 2
Puuttuva sivu on:
b₂ = 4 · 2 = 8
Pinta-alojen ja piirien suhde
Yhdenmuotoisilla kuvioilla pituudet skaalautuvat kertoimella k, mutta pinta-alat sen neliöllä:
piirien suhde = k
pinta-alojen suhde = k²
Esimerkiksi mittakaavalla k = 2 piirit ovat suhteessa 2 ja pinta-alat suhteessa 4.
Yhdenmuotoisuusehdot
Kolmioiden yhdenmuotoisuus voidaan todeta kolmella tavalla:
- KK: kaksi vastinkulmaa yhtä suuret.
- SSS: kaikki vastinsivut samassa suhteessa.
- SKS: kaksi sivua samassa suhteessa ja niiden välinen kulma yhtä suuri.
Mihin yhdenmuotoisuutta käytetään?
Yhdenmuotoisuutta hyödynnetään korkeuksien ja etäisyyksien epäsuorassa mittaamisessa, esimerkiksi puun korkeuden määrittämisessä varjon avulla, karttojen ja pienoismallien mittakaavoissa sekä monissa lukion geometrian ja trigonometrian todistuksissa.
Yhdenmuotoiset kolmiot koulussa
Yhdenmuotoisuus opetellaan yläkoulun geometriassa ja syvennetään lukiossa. Se on perusta verrannoille, mittakaavalle ja trigonometrialle, ja sitä käytetään toistuvasti geometrian tehtävissä puuttuvien mittojen ratkaisemiseen.
Usein kysytyt kysymykset
Mitä yhdenmuotoisuus tarkoittaa?
Kaksi kolmiota ovat yhdenmuotoiset, kun niillä on sama muoto mutta mahdollisesti eri koko. Tällöin niiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivut verrannolliset. Yhdenmuotoisuus merkitään symbolilla ∼.
Miten yhdenmuotoisten kolmioiden puuttuva sivu lasketaan?
Vastinsivut ovat samassa suhteessa, joten verranto a₁ ÷ a₂ = b₁ ÷ b₂ pätee. Puuttuva sivu saadaan ristiin kertomalla: b₂ = b₁ · a₂ ÷ a₁. Esimerkiksi jos a₁ = 3, a₂ = 6 ja b₁ = 4, niin b₂ = 4 · 6 ÷ 3 = 8.
Mikä on mittakaavakerroin?
Mittakaavakerroin k on kahden vastinsivun suhde, k = a₂ ÷ a₁. Se kertoo, kuinka monta kertaa suurempi toinen kolmio on. Kaikki vastinsivut ovat samassa suhteessa k, joten yhden parin perusteella koko kolmio on määrätty.
Miten pinta-alat suhtautuvat toisiinsa?
Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alat ovat suhteessa mittakaavakertoimen neliöön: jos sivut ovat suhteessa k, pinta-alat ovat suhteessa k². Esimerkiksi jos toinen kolmio on kaksi kertaa suurempi (k = 2), sen pinta-ala on neljä kertaa suurempi.
Milloin kolmiot ovat yhdenmuotoiset?
Kolmiot ovat yhdenmuotoiset, jos jokin yhdenmuotoisuusehdoista täyttyy: kaksi vastinkulmaa on yhtä suuret (KK), kaikki vastinsivut ovat samassa suhteessa (SSS) tai kaksi sivua ovat samassa suhteessa ja niiden välinen kulma on yhtä suuri (SKS).
Oliko tästä laskurista apua?