Säännöllinen viisikulmio
Valitse lähtömitta ja syötä sen arvo. Kaikki mitat lasketaan samassa pituusyksikössä.
Viisikulmio-laskuri
Laske säännöllisen viisikulmion pinta-ala, piiri, lävistäjä ja säteet sivun pituudesta: A ≈ 1,7205 · a².
Tulokset
Viisikulmio-laskuri
Tämä laskuri laskee säännöllisen viisikulmion keskeiset mitat: pinta-alan, piirin, lävistäjän sekä sisä- ja ympärysympyrän säteet. Voit antaa lähtötiedoksi sivun, ympärysympyrän säteen, keskipiste-etäisyyden tai pinta-alan.
Mikä säännöllinen viisikulmio on?
Säännöllinen viisikulmio on viisisivuinen monikulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät ja kaikki kulmat yhtä suuret. Se on yksi klassisista säännöllisistä monikulmioista, ja sen geometria liittyy läheisesti kultaiseen leikkaukseen.
Sisäkulmat
Monikulmion kulmien summa saadaan kaavasta (n − 2) · 180°. Viisikulmiolla n = 5, joten:
kulmien summa = (5 − 2) · 180° = 540°
Koska kulmia on viisi ja ne ovat yhtä suuria, jokainen sisäkulma on 540° ÷ 5 = 108°.
Pinta-ala
Säännöllisen viisikulmion pinta-ala lasketaan sivun a avulla kaavalla:
A = ¼ · √(5(5 + 2√5)) · a² ≈ 1,7205 · a²
Vaihtoehtoisesti pinta-ala saadaan yleisestä monikulmion kaavasta A = ½ · piiri · keskipiste-etäisyys.
Piiri ja lävistäjä
Piiri on sivu kerrottuna viidellä, ja lävistäjä liittyy sivuun kultaisen leikkauksen kautta:
piiri = 5 · a
lävistäjä = a · φ = a · (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618 · a
Lävistäjän ja sivun suhde on aina tasan kultainen leikkaus φ, mikä tekee viisikulmiosta sen tunnetuimman geometrisen esimerkin.
Säde ja keskipiste-etäisyys
Ympärysympyrän säde R (keskipisteestä kärkeen) ja keskipiste-etäisyys r (keskipisteestä sivun keskelle) saadaan sivusta:
R = a ÷ (2 · sin 36°) ≈ 0,8507 · a
r = a ÷ (2 · tan 36°) ≈ 0,6882 · a
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan säännöllisen viisikulmion mitat, kun sivu on a = 5:
A ≈ 1,7205 · 5² = 1,7205 · 25 ≈ 43,01
piiri = 5 · 5 = 25
lävistäjä = 5 · 1,618 ≈ 8,09
Pinta-ala on siis noin 43,01, piiri 25 ja lävistäjä noin 8,09.
Viisikulmio ja kultainen leikkaus
Viisikulmion lävistäjät leikkaavat toisensa kultaisen leikkauksen suhteessa ja muodostavat keskelle pienemmän viisikulmion sekä viisisakaraisen tähden. Tämän vuoksi viisikulmio on usein esillä, kun käsitellään kultaista leikkausta ja sen esiintymistä geometriassa.
Viisikulmio koulussa
Säännölliset monikulmiot ja niiden ala- ja piirikaavat kuuluvat yläkoulun ja lukion geometriaan. Viisikulmio on havainnollinen esimerkki kulmasumman kaavasta ja kultaisesta leikkauksesta, ja sen pinta-alan voi johtaa jakamalla kuvio viiteen yhtenevään kolmioon keskipisteen ympärille.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on säännöllinen viisikulmio?
Säännöllinen viisikulmio on viisisivuinen monikulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät ja kaikki kulmat yhtä suuret. Jokainen sisäkulma on 108 astetta ja kulmien summa on 540 astetta. Viisikulmio liittyy läheisesti kultaiseen leikkaukseen.
Miten viisikulmion pinta-ala lasketaan?
Säännöllisen viisikulmion pinta-ala sivun a avulla on A = ¼·√(5(5+2√5))·a², mikä on noin 1,7205·a². Esimerkiksi sivulla 5 pinta-ala on noin 1,7205·25 ≈ 43,01. Vaihtoehtoisesti ala on ½·piiri·keskipiste-etäisyys.
Mikä on viisikulmion lävistäjä?
Säännöllisen viisikulmion lävistäjä on sivu kerrottuna kultaisella leikkauksella φ ≈ 1,618: lävistäjä = a·φ = a·(1+√5)÷2. Esimerkiksi sivulla 5 lävistäjä on noin 8,09. Lävistäjän ja sivun suhde on aina täsmälleen kultainen leikkaus.
Kuinka suuria viisikulmion kulmat ovat?
Säännöllisen viisikulmion jokainen sisäkulma on 108°. Tämä saadaan kulmasumman kaavasta (n−2)·180°, joka viisikulmiolle (n = 5) on 540°, jaettuna viidellä kulmalla. Ulkokulma on vastaavasti 72°.
Missä viisikulmio esiintyy?
Viisikulmio ja siihen liittyvä viisisakarainen tähti esiintyvät luonnossa esimerkiksi kukkien ja meritähtien symmetriassa. Säännöllistä viisikulmiota käytetään myös arkkitehtuurissa, tunnuksissa ja koristekuvioissa, ja se on klassinen esimerkki kultaisen leikkauksen geometriasta.
Oliko tästä laskurista apua?