Pythagoraan kolmikoiden laskuri

Muodosta Pythagoraan kolmikoita Eukleideen kaavalla a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n² tai tarkista, toteuttaako kolme lukua ehdon a² + b² = c².

Tila

Muodosta kolmikko parametreista tai tarkista, ovatko kolme lukua Pythagoraan kolmikko.

Eukleideen kaava

Anna kokonaisluvut m ja n (m > n > 0) ja halutessasi kerroin k.

Tulokset

  • Tulosta
  • Linkitä

    • Pythagoraan kolmikoiden laskuri

    Tällä laskurilla voit muodostaa Pythagoraan kolmikoita Eukleideen kaavalla tai tarkistaa, muodostavatko kolme antamaasi lukua suorakulmaisen kolmion. Kolmikot ovat keskeinen aihe Pythagoraan lauseen yhteydessä.

    Mikä Pythagoraan kolmikko on?

    Pythagoraan kolmikko on kolme positiivista kokonaislukua a, b ja c, jotka toteuttavat Pythagoraan lauseen:

    a² + b² = c²

    Tällöin luvut voivat olla suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet, joissa c on hypotenuusa. Klassinen esimerkki on 3, 4 ja 5: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².

    Eukleideen kaava

    Kaikki peruskolmikot saadaan Eukleideen kaavalla kahdesta kokonaisluvusta m ja n, joille m > n > 0:

    a = m² − n²
    b = 2 · m · n
    c = m² + n²

    Kun lisäksi m ja n ovat keskenään jaottomia ja eriparisia, syntyy peruskolmikko. Kertomalla tulos kokonaisluvulla k saadaan monikertaisia kolmikoita.

    Vaiheittainen esimerkki

    Muodostetaan kolmikko arvoilla m = 3 ja n = 2:

    a = 3² − 2² = 9 − 4 = 5
    b = 2 · 3 · 2 = 12
    c = 3² + 2² = 9 + 4 = 13

    Tarkistetaan ehto:

    5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²

    Saatiin siis peruskolmikko (5, 12, 13).

    Perus- ja monikertakolmikot

    Peruskolmikon lukujen suurin yhteinen tekijä on 1, eli niitä ei voi enää supistaa. Esimerkiksi (3, 4, 5) on peruskolmikko. Kertomalla se luvulla 2 saadaan (6, 8, 10), joka on edelleen Pythagoraan kolmikko mutta ei enää peruskolmikko. Sama suorakulmaisen kolmion muoto toistuu kaikissa monikerroissa.

    Tunnettuja peruskolmikoita

    Mihin kolmikoita käytetään?

    Pythagoraan kolmikoita käytetään, kun halutaan luoda tai tarkistaa tarkka suora kulma ilman erityisiä mittavälineitä. Rakentamisessa tunnetaan 3–4–5-menetelmä: jos kolmion sivut ovat tässä suhteessa, kulma sivujen 3 ja 4 välissä on tasan 90°. Samaa periaatetta hyödynnetään maanmittauksessa ja matematiikan opetuksessa.

    Pythagoraan kolmikot koulussa

    Kolmikot opitaan Pythagoraan lauseen yhteydessä yläkoulussa ja lukiossa. Ne havainnollistavat lauseen kokonaisluvuilla ja toimivat luontevana siltana lukuteoriaan, jossa tutkitaan, mitkä kokonaisluvut voivat olla suorakulmaisen kolmion sivuja.

    Usein kysytyt kysymykset

    Mikä on Pythagoraan kolmikko?
    Pythagoraan kolmikko on kolme positiivista kokonaislukua a, b ja c, jotka toteuttavat Pythagoraan lauseen a² + b² = c². Tällaiset luvut voivat olla suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet. Tunnetuin esimerkki on 3, 4 ja 5, sillä 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².
    Miten Pythagoraan kolmikoita muodostetaan?
    Kolmikoita muodostetaan Eukleideen kaavalla, jossa valitaan kaksi kokonaislukua m > n > 0 ja lasketaan a = m² − n², b = 2mn ja c = m² + n². Esimerkiksi m = 3 ja n = 2 antaa kolmikon a = 5, b = 12, c = 13.
    Mikä on peruskolmikko?
    Peruskolmikko eli primitiivinen kolmikko on Pythagoraan kolmikko, jonka lukujen suurin yhteinen tekijä on 1. Esimerkiksi 3, 4, 5 on peruskolmikko, mutta 6, 8, 10 ei ole, koska se on saatu kertomalla peruskolmikko luvulla 2.
    Kuinka monta Pythagoraan kolmikkoa on olemassa?
    Niitä on äärettömän monta. Jokaisesta peruskolmikosta saadaan ääretön määrä monikertoja kertomalla luvulla 2, 3, 4 ja niin edelleen, ja peruskolmikoitakin on äärettömästi. Pienimpiä peruskolmikoita ovat esimerkiksi (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17) ja (7,24,25).
    Mihin Pythagoraan kolmikoita käytetään?
    Niitä hyödynnetään aina, kun halutaan tarkkoja suoria kulmia ilman kulmamittaria. Rakennustyömaalla kolmiomittaus 3–4–5 varmistaa suoran kulman, ja samaa periaatetta käytetään myös matematiikan opetuksessa havainnollistamaan Pythagoraan lausetta kokonaisluvuilla.
    Oliko tästä laskurista apua?

    Kokeile näitä laskureita

    MassaprosenttilaskuriMassaprosentti molaarisuudeksiTasapainovakiolaskuriGibbsin energia -laskuriProsenttiyksikkölaskuriKaltevuusprosenttiPaino muilla planeetoillaTehopainosuhteen laskuri

    Linkitä tämä laskuri

    Kopioi koodi ja liitä se omalle sivustollesi.
    Kaikki Raha ja talousPalkka- ja verolaskuritSäästö- ja budjettilaskuritAsumiskustannuslaskuritLaina- ja korkolaskuritSijoitus- ja tuottolaskuritPankki- ja maksulaskuritYritystalouden laskurit
    Kaikki Aika ja päivämäärätNimipäivätPäivälaskuritKalenteri ja viikotJuhlat ja pyhätLomakalenteritAikavyöhykkeetAikajanat ja historia
    Kaikki Auto ja liikkuminenKustannukset ja polttoaineMatka ja aikaRahoitus
    Kaikki Koti ja rakentaminenRakennus ja remonttiEnergia ja sähköBudjetti ja kustannuksetKeittiö ja reseptitPiha ja puutarha
    Kaikki YksikkömuunnoksetPituus ja painoTilavuus ja keittiöLämpö ja energiaData ja teknologiaVaatteet ja kengät
    Kaikki Matematiikka ja tiedePeruslaskentaProsentit ja suhteetMurtoluvut ja desimaalitLukujonot ja peruslaskutaitoGeometria ja muodotFunktiot ja yhtälötDerivoinnit ja integraalitMatriisit ja lineaarialgebraTilastot ja todennäköisyysTrigonometria ja hyperboliset funktiotEdistyneet laskutLukujärjestelmät ja muunnoksetFysiikkaSähkö ja elektroniikkaKemiaTietotekniikka ja data
    Kaikki Arjen hyötytyökalutTeksti ja laskentaAjan ja työn laskuritSatunnaisuusHauskat ja sosiaaliset
    Kaikki Digi- ja koodityökalutKoodausmuuntimetData-formaatitHash-generaattoritLukujärjestelmätVäritKuvat ja tiedostot
    Kaikki Terveys ja kuntoiluPaino ja mittasuhteetRavinto ja energiaLiikunta ja sykeUni ja lepoRaskaus ja hedelmällisyysTestit ja hyvinvointi
    Kaikki Viihde ja vapaa-aikaPelit ja pisteetRakkaus ja horoskoopitLemmikitNimigeneraattorit ja testitAjanhallinta & tapahtumat

    Suositut laskurit

    ALV-laskuri Prosenttilaskuri Asuntolainalaskuri Yleinen lainalaskuri Nettopalkkalaskuri Painoindeksi BMI