Kahdeksankulmio-laskuri

Tämä laskuri laskee säännöllisen kahdeksankulmion kaikki keskeiset mitat: pinta-alan, piirin, lävistäjät, keskipiste-etäisyyden ja kulmat. Voit antaa lähtötiedoksi sivun, ympärysympyrän säteen, keskipiste-etäisyyden tai pinta-alan.

Mikä säännöllinen kahdeksankulmio on?

Säännöllinen kahdeksankulmio on kahdeksansivuinen monikulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät ja kaikki kulmat yhtä suuret. Tunnetuin esimerkki on STOP-liikennemerkki. Kahdeksankulmion voi ajatella syntyvän neliöstä, jonka nurkista on leikattu kolmiot pois.

Sisäkulmat

Monikulmion kulmien summa saadaan kaavasta (n − 2)·180°. Kahdeksankulmiolla n = 8:

kulmien summa = (8 − 2)·180° = 1 080°

Koska kulmia on kahdeksan ja ne ovat yhtä suuria, jokainen sisäkulma on 1 080° ÷ 8 = 135°.

Pinta-ala

Säännöllisen kahdeksankulmion pinta-ala lasketaan sivun a avulla kaavalla:

A = 2(1 + √2)·a² ≈ 4,828·a²

Piiri ja lävistäjät

Piiri on sivu kerrottuna kahdeksalla. Lävistäjiä on kolme eri pituutta:

piiri = 8·a

lyhyt lävistäjä = √(2 + √2)·a ≈ 1,848·a

keskipitkä lävistäjä = (1 + √2)·a ≈ 2,414·a

pisin lävistäjä = √(4 + 2√2)·a ≈ 2,613·a

Pisin lävistäjä kulkee keskipisteen kautta vastakkaiseen kärkeen.

Säde ja keskipiste-etäisyys

Ympärysympyrän säde R (keskipisteestä kärkeen) ja keskipiste-etäisyys r (keskipisteestä sivun keskelle) ovat:

R = (a ÷ 2)·√(4 + 2√2) ≈ 1,307·a

r = (1 + √2)·a ÷ 2 ≈ 1,207·a

Vaiheittainen esimerkki

Lasketaan säännöllisen kahdeksankulmion mitat, kun sivu on a = 5:

A = 2(1 + √2)·5² = 2(1 + √2)·25 ≈ 120,71

piiri = 8 · 5 = 40

pisin lävistäjä = √(4 + 2√2)·5 ≈ 13,07

Kahdeksankulmion pinta-ala on siis noin 120,71 ja piiri 40.

Kahdeksankulmio käytössä

Kahdeksankulmiota käytetään muun muassa liikennemerkeissä, rakennusten pohjamuodoissa, kelloissa ja koristekuvioissa. Sen selkeä ja symmetrinen muoto tekee siitä helposti tunnistettavan, ja se täydentää neliön ja kuusikulmion kanssa tavallisimpia säännöllisiä monikulmioita.

Kahdeksankulmio koulussa

Säännölliset monikulmiot ja niiden ala- ja piirikaavat kuuluvat yläkoulun ja lukion geometriaan. Kahdeksankulmion kaavat voidaan johtaa jakamalla se kahdeksaan tasakylkiseen kolmioon tai tarkastelemalla sitä neliönä, jonka nurkat on leikattu. Tämä harjoittaa monikulmion kulmasumman ja trigonometrian soveltamista.

Usein kysytyt kysymykset

Mikä on säännöllinen kahdeksankulmio?

Säännöllinen kahdeksankulmio on kahdeksansivuinen monikulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät ja kaikki kulmat yhtä suuret. Jokainen sisäkulma on 135 astetta, ja kulmien summa on 1 080 astetta. Muoto on tuttu esimerkiksi STOP-liikennemerkistä.

Miten kahdeksankulmion pinta-ala lasketaan?

Säännöllisen kahdeksankulmion pinta-ala sivun a avulla on A = 2(1 + √2)·a², mikä on noin 4,828·a². Esimerkiksi sivulla 5 ala on 2(1 + √2)·25 ≈ 120,71. Kaava perustuu siihen, että kahdeksankulmion voi muodostaa neliöstä leikkaamalla nurkat pois.

Mikä on kahdeksankulmion piiri?

Säännöllisen kahdeksankulmion piiri on sivun pituus kerrottuna kahdeksalla: P = 8·a. Esimerkiksi sivulla 5 piiri on 8 · 5 = 40.

Montako lävistäjää kahdeksankulmiolla on?

Kahdeksankulmiolla on 20 lävistäjää, jotka jakautuvat kolmeen eri pituuteen. Lyhyt lävistäjä on √(2 + √2)·a, keskipitkä (1 + √2)·a ja pisin √(4 + 2√2)·a, joka kulkee keskipisteen kautta. Monikulmion lävistäjien määrä saadaan kaavasta n(n − 3) ÷ 2 = 8 · 5 ÷ 2 = 20.

Miksi STOP-merkki on kahdeksankulmio?

Kahdeksankulmion muoto on helposti tunnistettava jo pelkästä ääriviivasta, myös takaa tai lumen peittämänä. Siksi se valittiin pysähtymismerkin muodoksi: kuljettaja erottaa sen muista merkeistä yhdellä silmäyksellä, vaikka teksti ei näkyisi.

Kahdeksankulmio-laskuri

Säännöllinen kahdeksankulmio

Tulokset