Laskutapa
Valitse, lasketko jänteen säteestä ja keskuskulmasta vai keskuskulman säteestä ja jänteestä.
Jänteen pituus -laskuri
Laske ympyrän jänteen pituus säteestä ja keskuskulmasta: jänne = 2r · sin(kulma ÷ 2).
Tulokset
Jänteen pituus -laskuri
Tämä laskuri laskee ympyrän jänteen pituuden säteestä ja keskuskulmasta. Lisäksi se antaa kaaren pituuden ja segmentin korkeuden eli sagittan. Voit myös ratkaista keskuskulman, kun tiedät säteen ja jänteen.
Mikä jänne on?
Jänne on jana, joka yhdistää kaksi ympyrän kehän pistettä. Jänteen päiden ja keskipisteen väliin avautuu keskuskulma θ. Pisin mahdollinen jänne on halkaisija, joka vastaa keskuskulmaa 180°.
Jänteen kaava
Kun keskipisteestä piirretään kohtisuora jana jänteelle, se puolittaa sekä jänteen että keskuskulman ja muodostaa suorakulmaisen kolmion. Tästä saadaan jänteen pituus:
jänne = 2r · sin(θ ÷ 2)
Tässä r on säde ja θ on keskuskulma. Kun θ kasvaa, jänne pitenee, ja se on pisimmillään halkaisija 2r, kun θ = 180°.
Kaari ja segmentin korkeus
Samaa keskuskulmaa vastaava kaaren pituus ja segmentin korkeus (sagitta) ovat:
kaari = r · θ (θ radiaaneina)
sagitta h = r(1 − cos(θ ÷ 2))
Sagitta on jänteen keskikohdan etäisyys lähimpään kaaren pisteeseen.
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan jänne, kun säde r = 5 ja keskuskulma θ = 60°:
jänne = 2 · 5 · sin(60° ÷ 2) = 10 · sin 30° = 10 · 0,5 = 5
Kaaren pituus on r · θ = 5 · (60° · π ÷ 180°) ≈ 5,24 ja sagitta 5(1 − cos 30°) ≈ 0,67. Huomaa, että kaari (5,24) on hieman pidempi kuin suora jänne (5).
Keskuskulma jänteestä
Käänteisesti, kun säde ja jänne tunnetaan, keskuskulma saadaan:
θ = 2 · arcsin(jänne ÷ (2r))
Tämä on mahdollista vain, kun jänne ei ylitä halkaisijaa, eli jänne ≤ 2r.
Käyttökohteet
- Rakentaminen: kaarevien holvien, siltojen ja kaarien mitoitus.
- Konetekniikka: hammaspyörien ja pyörivien osien mittaus.
- Optiikka: linssien ja peilien kaarevuuden määritys sagittan avulla.
Jänne koulussa
Jänteet, kaaret ja keskuskulmat kuuluvat ympyrägeometriaan. Jänteen kaava johdetaan suorakulmaisesta kolmiosta ja siniltä, joten se yhdistää ympyrän ominaisuudet ja trigonometrian. Aihe esiintyy yläkoulun ja lukion geometriassa sekä kehäkulmalauseen yhteydessä.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on ympyrän jänne?
Jänne on jana, joka yhdistää ympyrän kehän kaksi pistettä. Pisin jänne on halkaisija, joka kulkee keskipisteen kautta. Jänne jakaa ympyrän kahteen segmenttiin ja vastaa tiettyä keskuskulmaa, joka avautuu jänteen päiden välille keskipisteestä.
Miten jänteen pituus lasketaan?
Jänteen pituus saadaan säteestä r ja keskuskulmasta θ kaavalla jänne = 2r · sin(θ ÷ 2). Kaava perustuu siihen, että keskipisteestä piirretty puolittaja jakaa jänteen ja kulman kahteen yhtä suureen osaan ja muodostaa suorakulmaisen kolmion. Esimerkiksi säteellä 5 ja kulmalla 60° jänne on 2 · 5 · sin 30° = 5.
Mikä on segmentin korkeus eli sagitta?
Segmentin korkeus eli sagitta on jänteen keskikohdan ja sitä lähimmän kaaren pisteen välinen etäisyys. Se lasketaan kaavalla h = r(1 − cos(θ ÷ 2)). Sagittaa tarvitaan esimerkiksi kaarevien rakenteiden ja linssien mitoituksessa.
Voiko jänteen pituudesta laskea keskuskulman?
Kyllä. Kun säde ja jänne tunnetaan, keskuskulma saadaan kaavalla θ = 2 · arcsin(jänne ÷ (2r)). Tämä toimii, kun jänne on enintään halkaisijan pituinen eli jänne ≤ 2r. Tämä laskuri sisältää myös tämän käänteisen laskennan.
Mikä on jänteen ja kaaren ero?
Jänne on suora jana ympyrän kahden pisteen välillä, kun taas kaari on näiden pisteiden välinen osa ympyrän kehästä. Kaari on aina pidempi kuin sitä vastaava jänne. Saman keskuskulman θ kohdalla kaaren pituus on r · θ (radiaaneina) ja jänne 2r · sin(θ ÷ 2).
Oliko tästä laskurista apua?