Yhteenlaskumenetelmä-laskuri
Ratkaise kahden tuntemattoman yhtälöpari yhteenlaskumenetelmällä. Laskuri näyttää ratkaisun x ja y sekä vaiheet.
Tulokset
Yhteenlaskumenetelmä-laskuri
Tämä laskuri ratkaisee kahden tuntemattoman lineaarisen yhtälöparin yhteenlaskumenetelmällä eli eliminoimalla. Syötä molempien yhtälöiden kertoimet, niin näet ratkaisun x ja y sekä ratkaisun vaiheet.
Mikä on yhteenlaskumenetelmä?
Yhteenlaskumenetelmä on yksi yhtälöparin perusratkaisutavoista. Tarkastellaan yhtälöparia:
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
Ideana on kertoa yhtälöt sopivilla luvuilla niin, että jommankumman muuttujan kertoimet ovat vastaluvut. Kun yhtälöt lasketaan yhteen, kyseinen muuttuja häviää ja jäljelle jää yksi yhtälö ja yksi tuntematon.
Menetelmä vaihe vaiheelta
- Valitse eliminoitava muuttuja ja kerro yhtälöt niin, että sen kertoimet ovat vastaluvut.
- Laske yhtälöt puolittain yhteen, jolloin valittu muuttuja häviää.
- Ratkaise jäljelle jäänyt yhden tuntemattoman yhtälö.
- Sijoita saatu arvo jompaankumpaan alkuperäiseen yhtälöön ja ratkaise toinen muuttuja.
Vaiheittainen esimerkki
Ratkaistaan yhtälöpari 3x + 2y = 16 ja 5x − 2y = 8.
Muuttujan y kertoimet ovat valmiiksi vastaluvut (2 ja −2), joten lasketaan yhtälöt yhteen:
(3x + 5x) + (2y − 2y) = 16 + 8
8x = 24 → x = 3
Sijoitetaan x = 3 ensimmäiseen yhtälöön: 3 · 3 + 2y = 16, eli 9 + 2y = 16, josta 2y = 7 ja y = 3,5. Ratkaisu on (x, y) = (3; 3,5).
Erikoistapaukset
- Ei ratkaisua: jos molemmat muuttujat häviävät ja jää epätosi yhtälö, suorat ovat yhdensuuntaiset.
- Äärettömän monta ratkaisua: jos jää tosi yhtälö, yhtälöt esittävät samaa suoraa.
- Tasan yksi ratkaisu: kun determinantti a₁b₂ − a₂b₁ ≠ 0, ratkaisu on yksikäsitteinen.
Käyttökohteet
- Kahden tuntemattoman sana- ja sovellustehtävät.
- Kahden suoran leikkauspisteen määrittäminen.
- Seos- ja sekoitustehtävät, joissa on kaksi ehtoa.
- Fysiikan tehtävät, joissa on kaksi yhtälöä ja kaksi tuntematonta.
Yhteenlaskumenetelmä lukiossa
Yhteenlaskumenetelmä opitaan lukion ensimmäisillä matematiikan kursseilla yhtälöryhmien yhteydessä (MAA ja MAB). Se on sijoitusmenetelmän ohella keskeinen tapa ratkaista lineaarinen yhtälöpari ja yleistyy suuremmille yhtälöryhmille Gaussin eliminointimenetelmänä.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on yhteenlaskumenetelmä?
Yhteenlaskumenetelmä eli eliminointimenetelmä on tapa ratkaista kahden tuntemattoman yhtälöpari. Yhtälöt kerrotaan sopivilla luvuilla niin, että toisen muuttujan kertoimet ovat vastaluvut, ja yhtälöt lasketaan yhteen. Tällöin toinen muuttuja häviää ja jäljelle jää yhden tuntemattoman yhtälö.
Milloin yhteenlaskumenetelmä kannattaa valita?
Yhteenlaskumenetelmä on kätevin, kun saman muuttujan kertoimet ovat valmiiksi samat tai vastaluvut, tai ne saa helposti sellaisiksi pienellä kertomisella. Tällöin muuttuja häviää suoraan yhteen- tai vähennyslaskulla.
Miten eliminoitava muuttuja valitaan?
Valitse se muuttuja, jonka kertoimet on helpoin saada vastaluvuiksi. Kerro yhtälöt tarvittaessa niin, että kyseisen muuttujan kertoimet ovat itseisarvoltaan samat mutta erimerkkiset, ja laske yhtälöt yhteen.
Voiko yhtälöparilla olla useita ratkaisuja?
Kyllä. Jos eliminoinnissa häviävät molemmat muuttujat ja jää tosi yhtälö, ratkaisuja on äärettömän monta. Jos jää epätosi yhtälö, ratkaisua ei ole. Muulloin ratkaisu on yksikäsitteinen (x, y).
Eroaako yhteenlaskumenetelmä sijoitusmenetelmästä?
Molemmat antavat saman ratkaisun. Yhteenlaskumenetelmässä muuttuja eliminoidaan laskemalla yhtälöt yhteen, kun taas sijoitusmenetelmässä muuttuja korvataan toisesta yhtälöstä ratkaistulla lausekkeella. Valinta riippuu siitä, kumpi on laskuissa nopeampi.
Oliko tästä laskurista apua?