Trinomi ax² + bx + c
Syötä trinomin kertoimet. Käytä miinusmerkkiä negatiivisille luvuille.
Esimerkki:
Trinomin tekijöihinjako -laskuri
Jaa toisen asteen trinomi ax² + bx + c tekijöihin muotoon a(x − r₁)(x − r₂). Laskuri näyttää tekijät ja nollakohdat.
Tulokset
Trinomin tekijöihinjako -laskuri
Tämä laskuri jakaa toisen asteen trinomin ax² + bx + c tekijöihin muotoon a(x − r₁)(x − r₂). Syötä kertoimet a, b ja c, niin näet tekijämuodon ja trinomin nollakohdat.
Mikä on toisen asteen trinomi?
Trinomi on kolmen termin polynomi. Toisen asteen trinomi on muotoa ax² + bx + c, jossa a ≠ 0. Tekijöihinjako tarkoittaa sen kirjoittamista tulona, jonka tekijät ovat ensimmäisen asteen polynomeja.
Tekijöihinjaon periaate
Jako perustuu nollakohtiin. Ratkaistaan ensin yhtälön ax² + bx + c = 0 juuret ratkaisukaavalla, ja sen jälkeen trinomi kirjoitetaan muodossa:
ax² + bx + c = a(x − r₁)(x − r₂)
Jokaista nollakohtaa r vastaa tekijä (x − r). Tämä on tekijälauseen seuraus.
Diskriminantti ratkaisee jaollisuuden
Diskriminantti D = b² − 4ac kertoo, voiko jaon tehdä reaaliluvuilla:
- D > 0: kaksi reaalista nollakohtaa ja jako a(x − r₁)(x − r₂).
- D = 0: täydellinen neliö a(x − r)².
- D < 0: ei reaalisia nollakohtia, joten trinomi on jaoton reaaliluvuilla.
Vaiheittainen esimerkki
Jaetaan tekijöihin x² − 5x + 6, jossa a = 1, b = −5 ja c = 6.
Ratkaistaan nollakohdat: x² − 5x + 6 = 0 antaa x = 2 ja x = 3.
Trinomi kirjoitetaan tekijämuodossa: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Tarkistus: (x − 2)(x − 3) = x² − 5x + 6.
Esimerkki kertoimella a ≠ 1
Jaetaan 2x² − 8x + 6, jossa a = 2, b = −8 ja c = 6. Nollakohdat ovat x = 1 ja x = 3, joten 2x² − 8x + 6 = 2(x − 1)(x − 3).
Käyttökohteet
- Murtolausekkeiden sieventäminen supistamalla yhteisiä tekijöitä.
- Polynomiyhtälöiden ratkaiseminen tulon nollasäännöllä.
- Toisen asteen epäyhtälöiden merkkikaavioiden tekeminen.
- Rationaalifunktioiden nollakohtien ja napojen löytäminen.
Tekijöihinjako lukiossa
Toisen asteen trinomin tekijöihinjako kuuluu lukion pitkän matematiikan (MAA) ja lyhyen matematiikan (MAB) keskeisiin taitoihin. Se nojaa nollakohtiin ja tekijälauseeseen, ja sitä tarvitaan jatkuvasti lausekkeiden sieventämisessä ja yhtälöiden ratkaisemisessa.
Usein kysytyt kysymykset
Miten trinomi jaetaan tekijöihin?
Toisen asteen trinomi ax² + bx + c jaetaan tekijöihin nollakohtiensa avulla. Ratkaistaan ensin yhtälön ax² + bx + c = 0 juuret r₁ ja r₂, jolloin trinomi voidaan kirjoittaa muodossa a(x − r₁)(x − r₂).
Mikä on nollakohtien ja tekijöiden yhteys?
Jos r on trinomin nollakohta, niin (x − r) on sen tekijä. Tämä on tekijälauseen seuraus: polynomi on jaollinen tekijällä (x − r) täsmälleen silloin, kun r on sen nollakohta.
Voiko jokaista trinomia jakaa tekijöihin?
Reaalilukujen alueella ei. Jos diskriminantti D = b² − 4ac on negatiivinen, trinomilla ei ole reaalisia nollakohtia eikä sitä voi jakaa reaalisiin ensimmäisen asteen tekijöihin. Tällaista trinomia sanotaan jaottomaksi.
Mitä tarkoittaa täydellinen neliö tekijöinä?
Kun diskriminantti on tasan nolla, trinomilla on yksi kaksinkertainen nollakohta ja se on täydellinen neliö: a(x − r)². Esimerkiksi x² − 6x + 9 = (x − 3)².
Pitääkö kerroin a ottaa huomioon?
Kyllä. Jos a ≠ 1, se jää tekijämuodon eteen: ax² + bx + c = a(x − r₁)(x − r₂). Esimerkiksi 2x² − 8x + 6 = 2(x − 1)(x − 3).
Oliko tästä laskurista apua?