Sijoitusmenetelmä-laskuri
Ratkaise kahden tuntemattoman yhtälöpari sijoitusmenetelmällä. Laskuri näyttää ratkaisun x ja y sekä vaiheet.
Tulokset
Sijoitusmenetelmä-laskuri
Tämä laskuri ratkaisee kahden tuntemattoman lineaarisen yhtälöparin sijoitusmenetelmällä. Syötä molempien yhtälöiden kertoimet, niin näet ratkaisun x ja y sekä ratkaisun vaiheet.
Mikä on sijoitusmenetelmä?
Sijoitusmenetelmä on yksi yhtälöparin perusratkaisutavoista. Tarkastellaan yhtälöparia:
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
Ideana on ratkaista toisesta yhtälöstä toinen muuttuja ja sijoittaa saatu lauseke toiseen yhtälöön. Tällöin jäljelle jää yksi yhtälö, jossa on vain yksi tuntematon.
Menetelmä vaihe vaiheelta
- Ratkaise toisesta yhtälöstä helpoin muuttuja, esimerkiksi x = (c₁ − b₁y) / a₁.
- Sijoita tämä lauseke toiseen yhtälöön x:n paikalle.
- Ratkaise saatu yhden tuntemattoman yhtälö, eli laske y.
- Sijoita y takaisin ensimmäiseen lausekkeeseen ja laske x.
Vaiheittainen esimerkki
Ratkaistaan yhtälöpari 2x + 3y = 13 ja x − y = −1.
Toisesta yhtälöstä on helppo ratkaista x: x = y − 1.
Sijoitetaan se ensimmäiseen yhtälöön: 2(y − 1) + 3y = 13, eli 2y − 2 + 3y = 13, josta 5y = 15 ja y = 3.
Sijoitetaan y takaisin: x = 3 − 1 = 2. Ratkaisu on siis (x, y) = (2, 3).
Erikoistapaukset
- Ei ratkaisua: jos muuttujat häviävät ja jää epätosi yhtälö, suorat ovat yhdensuuntaiset eikä leikkauspistettä ole.
- Äärettömän monta ratkaisua: jos jää aina tosi yhtälö, yhtälöt esittävät samaa suoraa.
- Tasan yksi ratkaisu: kun determinantti a₁b₂ − a₂b₁ ≠ 0, ratkaisu on yksikäsitteinen.
Käyttökohteet
- Kahden tuntemattoman sana- ja sovellustehtävät.
- Kahden suoran leikkauspisteen määrittäminen.
- Hinta- ja määrätehtävät, joissa on kaksi ehtoa.
- Fysiikan tehtävät, joissa on kaksi yhtälöä ja kaksi tuntematonta.
Sijoitusmenetelmä lukiossa
Sijoitusmenetelmä opitaan lukion ensimmäisillä matematiikan kursseilla yhtälöryhmien yhteydessä (MAA ja MAB). Se on yhteenlaskumenetelmän ohella keskeinen tapa ratkaista lineaarinen yhtälöpari, ja samaa periaatetta sovelletaan myöhemmin myös epälineaarisiin yhtälöryhmiin.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on sijoitusmenetelmä?
Sijoitusmenetelmä on tapa ratkaista kahden tuntemattoman yhtälöpari. Toisesta yhtälöstä ratkaistaan toinen muuttuja toisen avulla, ja saatu lauseke sijoitetaan toiseen yhtälöön. Näin jää yksi yhtälö ja yksi tuntematon, joka ratkaistaan suoraan.
Milloin sijoitusmenetelmä kannattaa valita?
Sijoitusmenetelmä on kätevin, kun jonkin muuttujan kerroin on 1 tai −1, jolloin se on helppo ratkaista ilman murtolukuja. Tällöin sijoitus toiseen yhtälöön on suoraviivaista.
Voiko yhtälöparilla olla useita ratkaisuja?
Kyllä. Jos yhtälöt esittävät samaa suoraa, ratkaisuja on äärettömän monta. Jos suorat ovat yhdensuuntaiset mutta erilliset, ratkaisua ei ole lainkaan. Muulloin ratkaisu on täsmälleen yksi (x, y).
Mitä ratkaisu (x, y) tarkoittaa geometrisesti?
Kumpikin yhtälö esittää suoraa koordinaatistossa. Yhtälöparin ratkaisu on suorien leikkauspiste. Yksi ratkaisu vastaa yhtä leikkauspistettä, ei ratkaisua vastaa yhdensuuntaisia suoria ja ääretön määrä vastaa samaa suoraa.
Eroaako sijoitusmenetelmä yhteenlaskumenetelmästä?
Molemmat antavat saman ratkaisun. Sijoitusmenetelmässä korvataan muuttuja lausekkeella, kun taas yhteenlaskumenetelmässä yhtälöt lasketaan yhteen tai vähennetään niin, että toinen muuttuja häviää. Valinta riippuu siitä, kumpi on laskuissa helpompi.
Oliko tästä laskurista apua?