Pisteen kierto -laskuri

Kierrä tason piste origon ympäri annetun kulman verran. Laskuri näyttää kierretyn pisteen koordinaatit.

Kierrettävä piste (x, y)

Kierto

Esimerkki:

Tulokset

  • Tulosta
  • Linkitä

    • Pisteen kierto -laskuri

    Tämä laskuri kiertää tason pisteen origon ympäri annetun kulman verran. Tulokseksi saadaan kierretyn pisteen koordinaatit sekä etäisyys origosta, joka säilyy kierrossa muuttumattomana.

    Kiertokaavat

    Vastapäiväinen kierto kulman θ verran kuvaa pisteen (x, y) uudeksi pisteeksi:

    x′ = x·cos θ − y·sin θ
    y′ = x·sin θ + y·cos θ

    Nämä ovat kiertomatriisin rivit. Myötäpäiväinen kierto saadaan korvaamalla θ luvulla −θ.

    Mistä kaavat johdetaan?

    Kierto määräytyy siitä, mihin koordinaattiakselien yksikkövektorit kuvautuvat. Vastapäiväisessä kierrossa vektori (1, 0) kuvautuu pisteeksi (cos θ, sin θ) ja (0, 1) pisteeksi (−sin θ, cos θ). Koska kierto on lineaarinen, mielivaltaisen pisteen kuva saadaan näiden yhdistelmänä, mistä yllä olevat kaavat seuraavat.

    Menetelmä vaihe vaiheelta

    1. Muunna kiertokulma tarvittaessa radiaaneiksi.
    2. Laske cos θ ja sin θ.
    3. Sijoita pisteen koordinaatit kiertokaavoihin.
    4. Lue kierretyn pisteen koordinaatit (x′, y′).

    Vaiheittainen esimerkki

    Kierretään piste (1, 0) origon ympäri 90° vastapäivään. Tällöin cos 90° = 0 ja sin 90° = 1.

    x′ = 1 · 0 − 0 · 1 = 0
    y′ = 1 · 1 + 0 · 0 = 1

    Kierretty piste on siis (0, 1). Etäisyys origosta on edelleen 1, kuten kierrossa kuuluukin.

    Etäisyyden säilyminen

    Kierto on jäykkä liike: se säilyttää etäisyydet ja kulmat. Siksi piste liikkuu origokeskistä ympyrää pitkin, ja sen etäisyys origosta on sama ennen ja jälkeen kierron.

    Käyttökohteet

    Pisteen kierto lukiossa

    Pisteen kierto liittyy lukion pitkän matematiikan (MAA) trigonometriaan, vektoreihin ja geometrisiin kuvauksiin. Kiertomatriisi yhdistää trigonometrian ja lineaarialgebran, ja sitä käytetään symmetrioiden ja muunnosten tutkimisessa.

    Usein kysytyt kysymykset

    Miten piste kierretään origon ympäri?
    Vastapäiväinen kierto kulman θ verran lasketaan kaavoilla x′ = x·cos θ − y·sin θ ja y′ = x·sin θ + y·cos θ. Nämä ovat kiertomatriisin rivit, ja ne antavat kierretyn pisteen uudet koordinaatit.
    Mihin suuntaan positiivinen kulma kiertää?
    Matematiikan vakiintuneen sopimuksen mukaan positiivinen kulma kiertää vastapäivään. Myötäpäiväinen kierto saadaan käyttämällä negatiivista kulmaa eli −θ, tai valitsemalla suunnaksi myötäpäivään.
    Säilyykö etäisyys origosta kierrossa?
    Kyllä. Kierto on jäykkä liike, joka säilyttää etäisyydet. Pisteen etäisyys origosta ennen ja jälkeen kierron on sama, koska piste liikkuu origokeskisen ympyrän kehää pitkin.
    Mistä kiertokaavat tulevat?
    Kaavat saadaan kiertomatriisista, jonka sarakkeet kertovat, mihin yksikkövektorit kuvautuvat. Vastapäiväisessä kierrossa (1, 0) kuvautuu pisteeksi (cos θ, sin θ) ja (0, 1) pisteeksi (−sin θ, cos θ), mistä yleinen kaava seuraa.
    Miten kierretään jonkin muun pisteen kuin origon ympäri?
    Tällöin piste siirretään ensin niin, että kiertokeskus tulee origoon, kierretään, ja siirretään takaisin. Käytännössä vähennetään kiertokeskuksen koordinaatit, sovelletaan kiertokaavoja ja lisätään koordinaatit takaisin.
    Oliko tästä laskurista apua?

    Kokeile näitä laskureita

    MassaprosenttilaskuriMassaprosentti molaarisuudeksiTasapainovakiolaskuriGibbsin energia -laskuriProsenttiyksikkölaskuriKaltevuusprosenttiVetyionikonsentraatioTeoreettinen saanto

    Linkitä tämä laskuri

    Kopioi koodi ja liitä se omalle sivustollesi.
    Kaikki Raha ja talousPalkka- ja verolaskuritSäästö- ja budjettilaskuritAsumiskustannuslaskuritLaina- ja korkolaskuritSijoitus- ja tuottolaskuritPankki- ja maksulaskuritYritystalouden laskurit
    Kaikki Aika ja päivämäärätNimipäivätPäivälaskuritKalenteri ja viikotJuhlat ja pyhätLomakalenteritAikavyöhykkeetAikajanat ja historia
    Kaikki Auto ja liikkuminenKustannukset ja polttoaineMatka ja aikaRahoitus
    Kaikki Koti ja rakentaminenRakennus ja remonttiEnergia ja sähköBudjetti ja kustannuksetKeittiö ja reseptitPiha ja puutarha
    Kaikki YksikkömuunnoksetPituus ja painoTilavuus ja keittiöLämpö ja energiaData ja teknologiaVaatteet ja kengät
    Kaikki Matematiikka ja tiedePeruslaskentaProsentit ja suhteetMurtoluvut ja desimaalitLukujonot ja peruslaskutaitoGeometria ja muodotFunktiot ja yhtälötDerivoinnit ja integraalitMatriisit ja lineaarialgebraTilastot ja todennäköisyysTrigonometria ja hyperboliset funktiotEdistyneet laskutLukujärjestelmät ja muunnoksetFysiikkaSähkö ja elektroniikkaKemiaTietotekniikka ja data
    Kaikki Arjen hyötytyökalutTeksti ja laskentaAjan ja työn laskuritSatunnaisuusHauskat ja sosiaaliset
    Kaikki Digi- ja koodityökalutKoodausmuuntimetData-formaatitHash-generaattoritLukujärjestelmätVäritKuvat ja tiedostot
    Kaikki Terveys ja kuntoiluPaino ja mittasuhteetRavinto ja energiaLiikunta ja sykeUni ja lepoRaskaus ja hedelmällisyysTestit ja hyvinvointi
    Kaikki Viihde ja vapaa-aikaPelit ja pisteetRakkaus ja horoskoopitLemmikitNimigeneraattorit ja testitAjanhallinta & tapahtumat

    Suositut laskurit

    ALV-laskuri Prosenttilaskuri Asuntolainalaskuri Yleinen lainalaskuri Nettopalkkalaskuri Painoindeksi BMI