Funktiot ja yhtälöt

Pisteen kierto -laskuri

Kierrä tason piste origon ympäri annetun kulman verran. Laskuri näyttää kierretyn pisteen koordinaatit.

Kierrettävä piste (x, y)

Kierto

Esimerkki:
Mainos
LAINOJEN KILPAILUTUS

Kilpailuta lainat – yksi hakemus, monta tarjousta

  • Vertaile tarjoukset todellisen vuosikoron mukaan
  • Yksi hakemus usealle pankille
  • Palvelu on sinulle maksuton
Kilpailuta lainat

Pisteen kierto -laskuri

Tämä laskuri kiertää tason pisteen origon ympäri annetun kulman verran. Tulokseksi saadaan kierretyn pisteen koordinaatit sekä etäisyys origosta, joka säilyy kierrossa muuttumattomana.

Kiertokaavat

Vastapäiväinen kierto kulman θ verran kuvaa pisteen (x, y) uudeksi pisteeksi:

x′ = x·cos θ − y·sin θ
y′ = x·sin θ + y·cos θ

Nämä ovat kiertomatriisin rivit. Myötäpäiväinen kierto saadaan korvaamalla θ luvulla −θ.

Mistä kaavat johdetaan?

Kierto määräytyy siitä, mihin koordinaattiakselien yksikkövektorit kuvautuvat. Vastapäiväisessä kierrossa vektori (1, 0) kuvautuu pisteeksi (cos θ, sin θ) ja (0, 1) pisteeksi (−sin θ, cos θ). Koska kierto on lineaarinen, mielivaltaisen pisteen kuva saadaan näiden yhdistelmänä, mistä yllä olevat kaavat seuraavat.

Menetelmä vaihe vaiheelta

  1. Muunna kiertokulma tarvittaessa radiaaneiksi.
  2. Laske cos θ ja sin θ.
  3. Sijoita pisteen koordinaatit kiertokaavoihin.
  4. Lue kierretyn pisteen koordinaatit (x′, y′).

Vaiheittainen esimerkki

Kierretään piste (1, 0) origon ympäri 90° vastapäivään. Tällöin cos 90° = 0 ja sin 90° = 1.

x′ = 1 · 0 − 0 · 1 = 0
y′ = 1 · 1 + 0 · 0 = 1

Kierretty piste on siis (0, 1). Etäisyys origosta on edelleen 1, kuten kierrossa kuuluukin.

Etäisyyden säilyminen

Kierto on jäykkä liike: se säilyttää etäisyydet ja kulmat. Siksi piste liikkuu origokeskistä ympyrää pitkin, ja sen etäisyys origosta on sama ennen ja jälkeen kierron.

Käyttökohteet

Pisteen kierto lukiossa

Pisteen kierto liittyy lukion pitkän matematiikan (MAA) trigonometriaan, vektoreihin ja geometrisiin kuvauksiin. Kiertomatriisi yhdistää trigonometrian ja lineaarialgebran, ja sitä käytetään symmetrioiden ja muunnosten tutkimisessa.

Kokeile myös näitä palveluita

Mainos

Usein kysytyt kysymykset

Miten piste kierretään origon ympäri?
Vastapäiväinen kierto kulman θ verran lasketaan kaavoilla x′ = x·cos θ − y·sin θ ja y′ = x·sin θ + y·cos θ. Nämä ovat kiertomatriisin rivit, ja ne antavat kierretyn pisteen uudet koordinaatit.
Mihin suuntaan positiivinen kulma kiertää?
Matematiikan vakiintuneen sopimuksen mukaan positiivinen kulma kiertää vastapäivään. Myötäpäiväinen kierto saadaan käyttämällä negatiivista kulmaa eli −θ, tai valitsemalla suunnaksi myötäpäivään.
Säilyykö etäisyys origosta kierrossa?
Kyllä. Kierto on jäykkä liike, joka säilyttää etäisyydet. Pisteen etäisyys origosta ennen ja jälkeen kierron on sama, koska piste liikkuu origokeskisen ympyrän kehää pitkin.
Mistä kiertokaavat tulevat?
Kaavat saadaan kiertomatriisista, jonka sarakkeet kertovat, mihin yksikkövektorit kuvautuvat. Vastapäiväisessä kierrossa (1, 0) kuvautuu pisteeksi (cos θ, sin θ) ja (0, 1) pisteeksi (−sin θ, cos θ), mistä yleinen kaava seuraa.
Miten kierretään jonkin muun pisteen kuin origon ympäri?
Tällöin piste siirretään ensin niin, että kiertokeskus tulee origoon, kierretään, ja siirretään takaisin. Käytännössä vähennetään kiertokeskuksen koordinaatit, sovelletaan kiertokaavoja ja lisätään koordinaatit takaisin.
Oliko tästä laskurista apua?

Kokeile näitä laskureita

MassaprosenttilaskuriKemiaMassaprosentti molaarisuudeksiKemiaTasapainovakiolaskuriKemiaGibbsin energia -laskuriKemiaProsenttiyksikkölaskuriProsentit ja suhteetKaltevuusprosenttiGeometria ja muodot

Funktiot ja yhtälöt

Kaikki laskurit
Funktiolaskuri ja akselileikkauksetMatematiikka ja tiedeFunktiolaskinMatematiikka ja tiedeKäänteisfunktioMatematiikka ja tiedeLineaarisen yhtälön ratkaisijaMatematiikka ja tiede

Suositut laskurit

Kaikki laskurit
ALV-laskuriYritystalouden laskuritProsenttilaskuriProsentit ja suhteetAsuntolainalaskuriLaina- ja korkolaskuritYleinen lainalaskuriLaina- ja korkolaskurit

Kokeile myös näitä palveluita

Mainos

Linkitä tämä laskuri

Kopioi koodi ja liitä se omalle sivustollesi.
Kaikki Raha ja talousPalkka- ja verolaskuritSäästö- ja budjettilaskuritAsumiskustannuslaskuritLaina- ja korkolaskuritSijoitus- ja tuottolaskuritPankki- ja maksulaskuritYritystalouden laskurit
Kaikki Aika ja päivämäärätNimipäivätPäivälaskuritKalenteri ja viikotJuhlat ja pyhätLomakalenteritAikavyöhykkeetAikajanat ja historia
Kaikki Auto ja liikkuminenKustannukset ja polttoaineMatka ja aikaRahoitus
Kaikki Koti ja rakentaminenRakennus ja remonttiEnergia ja sähköBudjetti ja kustannuksetKeittiö ja reseptitPiha ja puutarha
Kaikki YksikkömuunnoksetPituus ja painoTilavuus ja keittiöLämpö ja energiaData ja teknologiaVaatteet ja kengät
Kaikki Matematiikka ja tiedePeruslaskentaProsentit ja suhteetMurtoluvut ja desimaalitLukujonot ja peruslaskutaitoGeometria ja muodotFunktiot ja yhtälötDerivoinnit ja integraalitMatriisit ja lineaarialgebraTilastot ja todennäköisyysTrigonometria ja hyperboliset funktiotEdistyneet laskutLukujärjestelmät ja muunnoksetFysiikkaSähkö ja elektroniikkaKemiaTietotekniikka ja data
Kaikki Arjen hyötytyökalutTeksti ja laskentaAjan ja työn laskuritSatunnaisuusHauskat ja sosiaaliset
Kaikki Digi- ja koodityökalutKoodausmuuntimetData-formaatitHash-generaattoritLukujärjestelmätVäritKuvat ja tiedostot
Kaikki Terveys ja kuntoiluPaino ja mittasuhteetRavinto ja energiaLiikunta ja sykeUni ja lepoRaskaus ja hedelmällisyysTestit ja hyvinvointi
Kaikki Viihde ja vapaa-aikaPelit ja pisteetRakkaus ja horoskoopitLemmikitNimigeneraattorit ja testitAjanhallinta & tapahtumat

Suositut laskurit

ALV-laskuri Prosenttilaskuri Asuntolainalaskuri Yleinen lainalaskuri Nettopalkkalaskuri Painoindeksi BMI