Nimittäjä (x − r₁)(x − r₂)
Syötä nimittäjän tekijöiden juuret. Niiden on oltava erisuuret.
Osoittaja px + q
Aito murto: osoittaja korkeintaan ensimmäistä astetta. Vakiolle aseta p = 0.
Esimerkki:
Osamurtokehitelmälaskuri
Muodosta osamurtokehitelmä: hajota muotoa (px + q)/((x − r₁)(x − r₂)) oleva rationaalifunktio osamurtoihin A/(x − r₁) + B/(x − r₂).
Tulokset
Osamurtokehitelmälaskuri
Tämä laskuri hajottaa muotoa (px + q) / ((x − r₁)(x − r₂)) olevan rationaalifunktion osamurtoihin, kun nimittäjässä on kaksi eri reaalitekijää. Tulokseksi saadaan osamurtojen kertoimet A ja B sekä hajotettu summamuoto.
Mitä osamurtokehitelmä tarkoittaa?
Osamurtokehitelmä kirjoittaa rationaalifunktion yksinkertaisempien murtojen summana. Kun nimittäjä jakautuu eri ensimmäisen asteen tekijöihin, lauseke voidaan esittää muodossa:
(px + q) / ((x − r₁)(x − r₂)) = A / (x − r₁) + B / (x − r₂)
Tässä A ja B ovat vakioita, jotka määritetään niin, että yhtälö pätee kaikilla muuttujan arvoilla.
Peittomenetelmä
Kertoimet saadaan kätevästi peittomenetelmällä. Kerroin A löytyy peittämällä tekijä (x − r₁) ja sijoittamalla x = r₁ jäljelle jäävään lausekkeeseen:
A = N(r₁) / (r₁ − r₂), B = N(r₂) / (r₂ − r₁)
missä N(x) = px + q on osoittaja. Menetelmä perustuu siihen, että toinen osamurto häviää, kun x asetetaan vastaavaan juureen.
Menetelmä vaihe vaiheelta
- Varmista, että murto on aito: osoittajan aste on pienempi kuin nimittäjän.
- Tunnista nimittäjän juuret r₁ ja r₂ (oltava erisuuret).
- Laske A sijoittamalla x = r₁ ja B sijoittamalla x = r₂ peittomenetelmällä.
- Kirjoita tulos summana A/(x − r₁) + B/(x − r₂).
Vaiheittainen esimerkki
Hajotetaan 1 / ((x − 1)(x − 2)). Tässä N(x) = 1, r₁ = 1 ja r₂ = 2.
A = 1 / (1 − 2) = −1
B = 1 / (2 − 1) = 1
Osamurtokehitelmä on siis −1/(x − 1) + 1/(x − 2). Tarkistus: yhteenlaskettuna saadaan takaisin alkuperäinen lauseke.
Sovellus integroinnissa
Osamurtomuodossa jokainen osamurto integroituu logaritmiksi:
∫ A/(x − r) dx = A · ln|x − r| + C
Tämä on osamurtokehitelmän tärkein käyttötarkoitus lukiossa ja jatko-opinnoissa.
Käyttökohteet
- Rationaalifunktioiden integrointi logaritmien avulla.
- Lausekkeiden sieventäminen ja summan muotoon kirjoittaminen.
- Teleskooppisummien muodostaminen sarjoissa.
Osamurtokehitelmä lukiossa
Osamurtokehitelmä liittyy lukion pitkän matematiikan (MAA) integraalilaskentaan ja rationaalifunktioihin. Se on keskeinen tekniikka, kun rationaalifunktio halutaan integroida, ja se yhdistää tekijöihinjaon, sijoituksen ja integroinnin.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on osamurtokehitelmä?
Osamurtokehitelmä on tapa kirjoittaa rationaalifunktio yksinkertaisempien murtolausekkeiden summana. Jos nimittäjä jakautuu eri ensimmäisen asteen tekijöihin, lauseke voidaan esittää muodossa A/(x − r₁) + B/(x − r₂), missä A ja B ovat vakioita.
Miten kertoimet A ja B lasketaan?
Helpoin tapa on peittomenetelmä. Kerroin A saadaan sijoittamalla x = r₁ alkuperäiseen lausekkeeseen, kun tekijä (x − r₁) on poistettu: A = N(r₁)/(r₁ − r₂). Vastaavasti B = N(r₂)/(r₂ − r₁), missä N(x) on osoittaja.
Milloin osamurtokehitelmä on mahdollinen tällä menetelmällä?
Tämä menetelmä toimii, kun murtolauseke on aito (osoittajan aste on pienempi kuin nimittäjän) ja nimittäjässä on kaksi eri reaalijuurta. Jos juuret ovat samat tai osoittaja on vähintään yhtä korkeaa astetta, tarvitaan muita keinoja.
Mihin osamurtokehitelmää käytetään?
Yleisin sovellus on rationaalifunktioiden integrointi: summamuodossa jokainen osamurto integroituu logaritmiksi. Osamurtoja käytetään myös sarjojen summaamisessa ja lausekkeiden sieventämisessä.
Mitä jos osoittajan aste on liian suuri?
Jos osoittajan aste on vähintään nimittäjän aste, lauseke ei ole aito murto. Silloin tehdään ensin polynomien jakolasku, ja vasta jakojäännökselle muodostetaan osamurtokehitelmä.
Oliko tästä laskurista apua?