Lauseke ax² + bx + c
Syötä lausekkeen kertoimet. Käytä miinusmerkkiä negatiivisille luvuille.
Esimerkki:
Neliöksi täydentäminen -laskuri
Muunna toisen asteen lauseke ax² + bx + c huippumuotoon a(x − h)² + k neliöksi täydentämällä. Laskuri näyttää h:n, k:n ja vaiheet.
Tulokset
Neliöksi täydentäminen -laskuri
Tämä laskuri muuntaa toisen asteen lausekkeen ax² + bx + c huippumuotoon a(x − h)² + k. Muunnosta kutsutaan neliöksi täydentämiseksi, ja se on lukion pakollista matematiikkaa. Huippumuodosta nähdään suoraan paraabelin huippu ja ääriarvo.
Mitä neliöksi täydentäminen on?
Neliöksi täydentäminen tarkoittaa lausekkeen kirjoittamista niin, että muuttuja esiintyy täydellisen neliön sisällä. Lopputulos on muotoa:
ax² + bx + c = a(x − h)² + k
Tässä piste (h, k) on paraabelin y = ax² + bx + c huippu.
Kaavat huipulle
Huipun koordinaatit saadaan suoraan kertoimista:
h = −b / (2a)
k = c − b² / (4a)
Saman k:n voi laskea myös sijoittamalla h alkuperäiseen lausekkeeseen: k = a·h² + b·h + c.
Menetelmä vaihe vaiheelta
- Otetaan a yhteiseksi tekijäksi x²- ja x-termeistä: a(x² + (b/a)x) + c.
- Lisätään ja vähennetään sulkujen sisällä termi (b / 2a)².
- Kootaan täydellinen neliö: a(x + b / 2a)² ja siirretään ylimääräinen osa vakiotermiin.
- Siistitään: tulos on a(x − h)² + k.
Vaiheittainen esimerkki
Täydennetään neliöksi lauseke x² − 6x + 5, jossa a = 1, b = −6 ja c = 5.
h = −(−6) / (2 · 1) = 3
k = 5 − (−6)² / (4 · 1) = 5 − 9 = −4
Siis x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 4. Paraabelin huippu on pisteessä (3; −4), ja koska a > 0, kyseessä on minimi.
Toinen esimerkki kertoimella a ≠ 1
Täydennetään lauseke 2x² + 8x + 3, jossa a = 2, b = 8 ja c = 3.
h = −8 / (2 · 2) = −2
k = 3 − 8² / (4 · 2) = 3 − 8 = −5
Siis 2x² + 8x + 3 = 2(x + 2)² − 5, ja huippu on (−2; −5).
Käyttökohteet
- Paraabelin huipun ja ääriarvon määrittäminen.
- Toisen asteen yhtälön ratkaiseminen ottamalla neliöjuuri huippumuodosta.
- Ratkaisukaavan x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) johtaminen.
- Integroinnin ja funktioiden tutkimisen apuna.
Neliöksi täydentäminen lukiossa
Neliöksi täydentäminen kuuluu lukion pitkän matematiikan (MAA) pakollisiin sisältöihin, ja se opitaan toisen asteen polynomifunktion ja yhtälön yhteydessä. Se on perusta huippumuodolle a(x − h)² + k ja auttaa ymmärtämään, mistä ratkaisukaava tulee.
Usein kysytyt kysymykset
Mitä neliöksi täydentäminen tarkoittaa?
Neliöksi täydentäminen tarkoittaa toisen asteen lausekkeen ax² + bx + c kirjoittamista muotoon a(x − h)² + k, jossa esiintyy täydellinen neliö. Muotoa kutsutaan huippumuodoksi, koska siitä näkee suoraan paraabelin huipun (h, k).
Mitkä ovat h ja k?
Huipun koordinaatit ovat h = −b / (2a) ja k = c − b² / (4a). Sama k voidaan laskea myös sijoittamalla h alkuperäiseen lausekkeeseen: k = a·h² + b·h + c.
Miten neliöksi täydennetään käsin?
Otetaan ensin a yhteiseksi tekijäksi toisen ja ensimmäisen asteen termeistä, lisätään ja vähennetään sulkujen sisällä (b/2a):n neliö, ja kootaan täydellinen neliö. Lopuksi siistitään vakiotermi. Tulos on a(x − h)² + k.
Mihin neliöksi täydentämistä käytetään?
Sitä käytetään paraabelin huipun ja ääriarvon määrittämiseen, toisen asteen yhtälön ratkaisemiseen ja ratkaisukaavan johtamiseen. Huippumuodosta yhtälön juuret saadaan ottamalla neliöjuuri molemmin puolin.
Mitä jos kerroin a on nolla?
Jos a = 0, lauseke ei ole toisen asteen lauseke vaan ensimmäisen asteen lauseke bx + c, jota ei voi täydentää neliöksi. Laskuri huomauttaa tästä.
Oliko tästä laskurista apua?