Napakoordinaattilaskuri
Muunna pisteen koordinaatit suorakulmaisesta muodosta napakoordinaateiksi ja takaisin. Laskuri näyttää kulman asteina ja radiaaneina.
Tulokset
Napakoordinaattilaskuri
Tämä laskuri muuntaa pisteen koordinaatit suorakulmaisesta muodosta (x, y) napakoordinaateiksi (r, θ) ja takaisin. Kulma näytetään sekä asteina että radiaaneina, ja muunnoksen suunnan voi valita.
Mitä napakoordinaatit ovat?
Napakoordinaateissa piste kuvataan kahdella suureella: etäisyydellä origosta (r) ja kulmalla (θ), jonka pisteen suuntaviiva muodostaa positiivisen x-akselin kanssa. Tämä on usein luonteva tapa kuvata pyörimisliikettä, säteittäisiä ilmiöitä ja suuntaa.
Suorakulmaiset → napakoordinaatit
Kun tunnetaan koordinaatit (x, y), etäisyys ja kulma saadaan kaavoilla:
r = √(x² + y²)
θ = atan2(y, x)
Funktio atan2 ottaa huomioon pisteen neljänneksen, joten kulma on oikein koko alueella (−180°, 180°].
Napakoordinaatit → suorakulmaiset
Käänteinen muunnos tehdään kosinin ja sinin avulla:
x = r · cos θ
y = r · sin θ
Vaiheittainen esimerkki
Muunnetaan piste (3, 4) napakoordinaateiksi.
r = √(3² + 4²) = √25 = 5
θ = atan2(4, 3) ≈ 53,13°
Piste (3, 4) on siis napakoordinaateissa r = 5 ja θ ≈ 53,13° (≈ 0,927 rad).
Asteet ja radiaanit
Kulman voi ilmaista asteina tai radiaaneina. Täysi kierros on 360° = 2π radiaania, joten muunnos asteista radiaaneiksi on θ_rad = θ_° · π / 180. Matematiikassa ja fysiikassa käytetään yleensä radiaaneja.
Käyttökohteet
- Vektorin suuruuden ja suunnan määrittäminen komponenteista.
- Pyörimisliikkeen ja säteittäisten ilmiöiden kuvaaminen.
- Kompleksilukujen napakoordinaattimuoto r(cos θ + i sin θ).
- Navigointi ja paikannus etäisyyden ja suuntiman avulla.
Napakoordinaatit lukiossa
Napakoordinaatit liittyvät lukion trigonometriaan ja vektoreihin (MAA). Ne ovat luonnollinen tapa esittää kompleksiluvun itseisarvo ja vaihekulma, ja niitä käytetään myös fysiikassa voiman ja nopeuden komponenttien käsittelyssä.
Usein kysytyt kysymykset
Mitä napakoordinaatit ovat?
Napakoordinaateissa piste ilmaistaan etäisyydellä origosta (r) ja kulmalla (θ), jonka pisteen suunta muodostaa positiivisen x-akselin kanssa. Tavallisten (x, y)-koordinaattien sijaan kuvataan siis etäisyys ja suunta.
Miten suorakulmaiset koordinaatit muutetaan napakoordinaateiksi?
Etäisyys saadaan kaavalla r = √(x² + y²) ja kulma kaavalla θ = atan2(y, x). Atan2 ottaa huomioon, missä neljänneksessä piste sijaitsee, joten kulma tulee oikein koko kierroksen alueella.
Miten napakoordinaatit muutetaan takaisin?
Suorakulmaiset koordinaatit saadaan kaavoilla x = r·cos θ ja y = r·sin θ. Kulma θ on tällöin syötettävä samassa yksikössä (asteina tai radiaaneina) kuin laskennassa käytetään.
Miksi kulma näytetään sekä asteina että radiaaneina?
Asteet ovat arkikäytössä havainnollisempia, kun taas radiaanit ovat matematiikan ja fysiikan luonnollinen kulmayksikkö. Täysi kierros on 360° eli 2π radiaania, joten muunnos on θ_rad = θ_° · π / 180.
Mikä on origon napakoordinaatti?
Origossa etäisyys r on nolla. Tällöin kulma θ ei ole yksikäsitteinen, koska piste on keskellä eikä sillä ole suuntaa. Laskuri ilmoittaa kulmaksi 0, kun r = 0.
Oliko tästä laskurista apua?