Yhtälö |ax + b| = c
Syötä kertoimet. Käytä miinusmerkkiä negatiivisille luvuille.
Esimerkki:
Itseisarvoyhtälö-laskuri
Ratkaise muotoa |ax + b| = c oleva itseisarvoyhtälö. Laskuri näyttää molemmat ratkaisut ja vaiheet.
Tulokset
Itseisarvoyhtälö-laskuri
Tämä laskuri ratkaisee muotoa |ax + b| = c olevan itseisarvoyhtälön. Syötä kertoimet a, b ja c, niin näet molemmat ratkaisut ja niiden lukumäärän sekä ratkaisun vaiheet.
Mikä on itseisarvo?
Luvun itseisarvo |x| tarkoittaa sen etäisyyttä nollasta lukusuoralla. Etäisyys ei voi olla negatiivinen, joten |x| ≥ 0 aina. Esimerkiksi |5| = 5 ja |−5| = 5: molempien etäisyys nollasta on 5.
Itseisarvoyhtälön ratkaiseminen
Koska sama itseisarvo saadaan kahdesta vastaluvusta, yhtälö jaetaan kahteen tapaukseen:
ax + b = c tai ax + b = −c
Kummastakin tapauksesta ratkaistaan x tavallisena ensimmäisen asteen yhtälönä. Ratkaisut ovat siis:
x = (c − b) / a ja x = (−c − b) / a
Ratkaisujen lukumäärä
- c > 0: kaksi ratkaisua.
- c = 0: yksi ratkaisu, koska itseisarvon sisällön on oltava nolla.
- c < 0: ei ratkaisua, koska itseisarvo ei voi olla negatiivinen.
Vaiheittainen esimerkki
Ratkaistaan yhtälö |2x − 3| = 5, jossa a = 2, b = −3 ja c = 5.
Tapaus 1: 2x − 3 = 5, eli 2x = 8 ja x = 4.
Tapaus 2: 2x − 3 = −5, eli 2x = −2 ja x = −1.
Yhtälön ratkaisut ovat siis x = 4 ja x = −1. Tarkistus: |2·4 − 3| = |5| = 5 ja |2·(−1) − 3| = |−5| = 5.
Käyttökohteet
- Toleranssitehtävät, joissa poikkeama tavoitearvosta on annettu.
- Etäisyysehtojen muotoileminen lukusuoralla.
- Itseisarvoepäyhtälöiden ratkaisuvälien rajojen löytäminen.
- Pohjana itseisarvofunktion kuvaajan tutkimiselle.
Itseisarvoyhtälö lukiossa
Itseisarvoyhtälöt kuuluvat lukion matematiikan ensimmäisille kursseille (MAA ja MAB). Ne harjoittavat tapausjakoa ja pohjustavat itseisarvoepäyhtälöitä sekä itseisarvofunktion kuvaajaa. Perusmenetelmä on aina jakaa yhtälö kahteen tapaukseen itseisarvon merkin mukaan.
Usein kysytyt kysymykset
Miten itseisarvoyhtälö ratkaistaan?
Itseisarvoyhtälö |ax + b| = c ratkaistaan jakamalla se kahteen tapaukseen: itseisarvon sisältö voi olla yhtä suuri kuin c tai sen vastaluku −c. Ratkaistaan siis erikseen yhtälöt ax + b = c ja ax + b = −c.
Miksi itseisarvoyhtälöllä on usein kaksi ratkaisua?
Itseisarvo kuvaa luvun etäisyyttä nollasta, ja sama etäisyys saadaan kahdesta eri luvusta, jotka ovat toistensa vastalukuja. Siksi yhtälöllä on yleensä kaksi ratkaisua, kun c > 0.
Milloin itseisarvoyhtälöllä ei ole ratkaisua?
Ratkaisua ei ole, jos c < 0. Itseisarvo on aina suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, joten se ei voi olla yhtä suuri kuin negatiivinen luku. Tällöin yhtälö |ax + b| = c on mahdoton.
Mitä jos c on nolla?
Kun c = 0, itseisarvon sisällön on oltava nolla, joten yhtälö ax + b = 0 antaa täsmälleen yhden ratkaisun x = −b / a. Tällöin molemmat tapaukset yhtyvät samaksi ratkaisuksi.
Pitääkö ratkaisut tarkistaa?
On hyvä tapa tarkistaa ratkaisut sijoittamalla ne alkuperäiseen yhtälöön. Perusmuodossa |ax + b| = c kumpikin tapaus tuottaa kelvollisen ratkaisun, mutta monimutkaisemmissa itseisarvoyhtälöissä tarkistus paljastaa mahdolliset valeratkaisut.
Oliko tästä laskurista apua?