Itseisarvon sisältö ax + b
Syötä lausekkeen ax + b kertoimet. Käytä miinusmerkkiä negatiivisille luvuille.
Vertailu
Esimerkki:
Itseisarvoepäyhtälölaskuri
Ratkaise itseisarvoepäyhtälö muotoa |ax + b| < c ja näe ratkaisuväli sekä sen päätepisteet.
Tulokset
Itseisarvoepäyhtälölaskuri
Tämä laskuri ratkaisee itseisarvoepäyhtälön muotoa |ax + b| (vertailu) c, jossa vertailu voi olla <, ≤, > tai ≥. Tulokseksi saadaan ratkaisujoukko välinä tai välien yhdisteenä sekä sen päätepisteet.
Mitä itseisarvoepäyhtälö tarkoittaa?
Itseisarvo |t| kertoo luvun t etäisyyden nollasta. Epäyhtälö |ax + b| < c kysyy siis, milloin lausekkeen ax + b etäisyys nollasta on pienempi kuin c. Tämä jakautuu sen mukaan, onko vertailumerkki "pienempi kuin" vai "suurempi kuin".
Pienempi kuin: |ax + b| < c
Kun c > 0, lauseke saa olla korkeintaan c:n päässä nollasta kumpaankin suuntaan:
|ax + b| < c ⇔ −c < ax + b < c
Kaksoisepäyhtälöstä x ratkaistaan vähentämällä joka osasta b ja jakamalla a:lla. Tulos on yksi väli.
Suurempi kuin: |ax + b| > c
Kun c > 0, lauseke on kauempana nollasta kuin c jompaankumpaan suuntaan:
|ax + b| > c ⇔ ax + b < −c tai ax + b > c
Ratkaisu koostuu tällöin kahdesta erillisestä säteestä eli välien yhdisteestä.
Vaiheittainen esimerkki
Ratkaistaan |2x − 4| < 6. Tässä a = 2, b = −4 ja c = 6.
−6 < 2x − 4 < 6
Lisätään joka osaan 4:
−2 < 2x < 10
Jaetaan kahdella (a = 2 > 0, merkit eivät käänny):
−1 < x < 5
Ratkaisu on siis avoin väli −1 < x < 5.
Erityistapaukset
- c < 0: |ax + b| < c ei toteudu koskaan (tyhjä joukko), kun taas |ax + b| > c toteutuu kaikilla x:n arvoilla.
- c = 0: |ax + b| < 0 on mahdoton, ja |ax + b| ≤ 0 toteutuu vain lausekkeen nollakohdassa.
- a < 0: kun epäyhtälö jaetaan negatiivisella a:lla, epäyhtälömerkit kääntyvät.
- a = 0: lauseke on vakio |b|, ja epäyhtälö joko pätee kaikilla tai ei millään x:llä.
Käyttökohteet
- Toleranssiehdot: arvo saa poiketa tavoitteesta korkeintaan annetun verran.
- Funktion ja raja-arvon määritelmissä esiintyvät etäisyysehdot.
- Epäyhtälöiden ratkaiseminen, kun muuttuja on itseisarvon sisällä.
Itseisarvoepäyhtälö lukiossa
Itseisarvoepäyhtälöt kuuluvat lukion pitkän matematiikan (MAA) ja lyhyen matematiikan (MAB) keskeisiin sisältöihin. Niiden ratkaiseminen perustuu itseisarvon etäisyystulkintaan, ja sama ajattelu toistuu myöhemmin esimerkiksi raja-arvon ε-määritelmässä.
Usein kysytyt kysymykset
Miten itseisarvoepäyhtälö |ax + b| < c ratkaistaan?
Kun c > 0, itseisarvoepäyhtälö |ax + b| < c on yhtäpitävä kaksoisepäyhtälön −c < ax + b < c kanssa. Tästä x ratkaistaan vähentämällä b ja jakamalla a:lla. Jos a on negatiivinen, epäyhtälömerkit kääntyvät jaossa.
Mitä eroa on muodoilla |ax + b| < c ja |ax + b| > c?
Pienempi kuin -muoto antaa yhden välin: arvot, jotka ovat lähellä lauseketta nollaavaa kohtaa. Suurempi kuin -muoto antaa kahden säteen yhdisteen: ax + b < −c tai ax + b > c, eli ratkaisu on kahdessa erillisessä osassa.
Mitä tapahtuu, jos c on negatiivinen?
Itseisarvo ei voi koskaan olla negatiivinen. Siksi |ax + b| < c (c < 0) ei toteudu millään x:n arvolla, ja ratkaisujoukko on tyhjä. Vastaavasti |ax + b| > c (c < 0) toteutuu kaikilla x:n arvoilla.
Sisältyvätkö päätepisteet ratkaisuun?
Tiukassa epäyhtälössä (< tai >) päätepisteet eivät kuulu ratkaisuun, joten väli on avoin. Merkeillä ≤ ja ≥ päätepisteet kuuluvat mukaan, jolloin väli on suljettu.
Mitä jos kerroin a on nolla?
Jos a = 0, lauseke on vakio |b|. Tällöin epäyhtälö joko toteutuu kaikilla x:n arvoilla tai ei millään, riippuen siitä, onko |b| pienempi vai suurempi kuin c.
Oliko tästä laskurista apua?