Funktio y = a · bˣ
Syötä kerroin, kantaluku ja eksponentti. Kantaluvun b tulee olla positiivinen.
Esimerkki:
Eksponenttifunktio-laskuri
Laske eksponenttifunktion y = a · bˣ arvo halutulla x:llä. Laskuri kertoo myös, kasvaako vai väheneekö funktio.
Eksponenttifunktio-laskuri
Tämä laskuri laskee eksponenttifunktion y = a · bˣ arvon annetuilla kertoimella a, kantaluvulla b ja eksponentilla x. Samalla näet, kasvaako vai väheneekö funktio ja mikä on sen arvo kohdassa x = 0.
Eksponenttifunktion määritelmä
Eksponenttifunktio on funktio, jossa muuttuja x esiintyy eksponentissa:
y = a · bˣ
Tässä a on kerroin (arvo kohdassa x = 0) ja b > 0 on kantaluku. Kun b ≠ 1, funktio on aidosti kasvava tai vähenevä.
Kasvu ja väheneminen
- b > 1: funktio kasvaa eksponentiaalisesti — mitä suurempi x, sitä suurempi y.
- 0 < b < 1: funktio vähenee eksponentiaalisesti kohti nollaa.
- b = 1: funktio on vakio, koska 1ˣ = 1 kaikilla x.
Kertoimen a merkitys
Koska b⁰ = 1, funktion arvo kohdassa x = 0 on y = a · 1 = a. Kerroin a on siis funktion lähtöarvo, esimerkiksi alkupääoma tai alkuperäinen määrä.
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan funktion y = 2 · 3ˣ arvo kohdassa x = 2.
y = 2 · 3² = 2 · 9 = 18
Kohdassa x = 0 arvo on y = 2 · 3⁰ = 2, ja koska b = 3 > 1, funktio kasvaa.
Eksponenttifunktio vai potenssifunktio?
Eksponenttifunktiossa muuttuja on eksponentissa (y = a · bˣ), kun taas potenssifunktiossa muuttuja on kantaluvussa (y = a · xⁿ). Eksponentiaalinen kasvu on lopulta nopeampaa kuin minkään potenssifunktion kasvu.
Käyttökohteet
- Korkoa korolle -laskenta ja sijoitusten arvonkehitys.
- Väestön, bakteerien tai populaation kasvu.
- Radioaktiivinen hajoaminen ja muu eksponentiaalinen väheneminen.
- Arvon aleneminen, kuten laitteen arvonalennus vuosittain.
Eksponenttifunktio lukiossa
Eksponenttifunktio y = a · bˣ kuuluu lukion pitkän matematiikan (MAA) ja lyhyen matematiikan (MAB) sisältöihin eksponentti- ja logaritmifunktioiden yhteydessä. Se on perusta kasvun ja vähenemisen mallintamiselle ja liittyy läheisesti logaritmiin, jolla eksponenttiyhtälöt ratkaistaan.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on eksponenttifunktio?
Eksponenttifunktio on muotoa y = a · bˣ, jossa muuttuja x on eksponentissa. Kerroin a on funktion arvo kohdassa x = 0 ja b > 0 on kantaluku, joka määrää, kuinka nopeasti funktio kasvaa tai vähenee.
Milloin eksponenttifunktio kasvaa ja milloin vähenee?
Kun kantaluku b > 1, funktio kasvaa eksponentiaalisesti. Kun 0 < b < 1, funktio vähenee. Kun b = 1, funktio on vakio a. Negatiivista kantalukua ei käytetä, koska se ei tuota jatkuvaa eksponenttifunktiota.
Mitä kerroin a tarkoittaa?
Kerroin a on funktion arvo kohdassa x = 0, koska b⁰ = 1 ja siten y = a · 1 = a. Se on usein lähtöarvo tai alkutilanne, esimerkiksi alkupääoma tai alkuperäinen määrä.
Miten eksponenttifunktio eroaa potenssifunktiosta?
Eksponenttifunktiossa muuttuja on eksponentissa (y = a · bˣ), kun taas potenssifunktiossa muuttuja on kantaluvussa (y = a · xⁿ). Ne kasvavat eri tavalla: eksponentiaalinen kasvu ohittaa lopulta minkä tahansa potenssifunktion.
Mihin eksponenttifunktiota käytetään?
Sitä käytetään kasvun ja vähenemisen mallintamiseen, kuten korkoa korolle -laskuissa, väestönkasvussa, bakteerien lisääntymisessä ja radioaktiivisessa hajoamisessa. Kaikissa näissä muutosnopeus on verrannollinen senhetkiseen määrään.
Oliko tästä laskurista apua?
