Binomi (ax + b)²
Syötä binomin kertoimet. Erotuksen neliölle käytä negatiivista b:tä.
Esimerkki:
Binomin neliö -laskuri
Laske binomin neliö (ax + b)² muistikaavalla. Laskuri näyttää avatun lausekkeen ja sen termit.
Tulokset
Binomin neliö -laskuri
Tämä laskuri laskee binomin neliön (ax + b)² muistikaavan avulla. Tulokseksi saadaan avattu toisen asteen lauseke sekä kunkin termin kerroin erikseen.
Muistikaava
Binomin neliö avataan summan ja erotuksen neliön muistikaavoilla:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Ensimmäinen ja viimeinen termi ovat osien neliöt, ja keskimmäinen termi on kaksinkertainen tulo 2ab.
Miksi keskelle tulee 2ab?
Kun neliö kirjoitetaan tulona ja kerrotaan auki osittelulailla, syntyy kaksi sekatuloa, jotka ovat samanmuotoiset:
(a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²
Sekatulot ab ja ba yhdistyvät yhdeksi termiksi 2ab. Tämä on muistikaavan keskeisin kohta.
Kun x-kerroin ei ole 1
Jos binomi on muotoa ax + b, myös kerroin a tulee neliöön:
(ax + b)² = a²·x² + 2ab·x + b²
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan (x + 3)². Tässä a = 1 ja b = 3.
a² = 1, joten x²-termi on x²
2ab = 2 · 1 · 3 = 6, joten x-termi on 6x
b² = 9
Tulos on siis x² + 6x + 9.
Esimerkki erotuksen neliöstä
Lasketaan (2x − 5)². Tässä a = 2 ja b = −5.
(2x − 5)² = 4x² − 20x + 25
Keskimmäisen termin merkki on miinus, koska 2ab = 2 · 2 · (−5) = −20.
Käyttökohteet
- Lausekkeiden nopea avaaminen ja sieventäminen.
- Neliöksi täydentäminen toisen asteen yhtälöiden ratkaisussa.
- Täydellisen neliön tunnistaminen tekijöihinjaossa.
Binomin neliö lukiossa
Binomin neliö on yksi lukion pitkän matematiikan (MAA) ja lyhyen matematiikan (MAB) keskeisistä muistikaavoista. Sitä käytetään lausekkeiden käsittelyssä, neliöksi täydentämisessä ja paraabelin huippumuodon johtamisessa.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on binomin neliön muistikaava?
Summan neliö on (a + b)² = a² + 2ab + b² ja erotuksen neliö on (a − b)² = a² − 2ab + b². Molemmissa ensimmäinen ja viimeinen termi ovat osien neliöt, ja keskelle tulee kaksinkertainen tulo 2ab.
Miksi keskimmäinen termi on 2ab eikä ab?
Kun (a + b)(a + b) kerrotaan auki, syntyy kaksi sekatuloa: a·b ja b·a. Ne ovat samanmuotoiset ja yhdistyvät yhteen termiin 2ab. Tämä kaksinkertainen tulo on yleisin virhekohta, jos kaavan muistaa puutteellisesti.
Mikä ero on summan ja erotuksen neliöllä?
Ainoa ero on keskimmäisen termin merkki. Summan neliössä se on +2ab ja erotuksen neliössä −2ab. Ensimmäinen ja viimeinen termi (neliöt) ovat aina positiivisia, koska luvun neliö ei ole negatiivinen.
Miten kaava toimii, kun x-kerroin a ei ole 1?
Tällöin neliöidään myös kerroin: (ax + b)² = a²x² + 2abx + b². Esimerkiksi (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9, koska a² = 4 ja 2ab = 12.
Mihin binomin neliötä käytetään?
Sitä käytetään lausekkeiden nopeaan avaamiseen, neliöksi täydentämiseen toisen asteen yhtälöissä sekä tekijöihinjaossa, kun tunnistetaan täydellinen neliö. Se nopeuttaa myös päässälaskua.
Oliko tästä laskurista apua?