Joukon alkiot
Kirjoita alkiot pilkulla, välilyönnillä tai puolipisteellä erotettuna. Toistuvat alkiot lasketaan yhdeksi. Alkiot voivat olla numeroita, kirjaimia tai sanoja.
Esimerkkejä:
Potenssijoukkolaskuri
Muodosta äärellisen joukon potenssijoukko eli kaikki osajoukot ja laske niiden lukumäärä 2^n.
Potenssijoukkolaskuri – kaikki osajoukot kerralla
Potenssijoukkolaskuri muodostaa äärellisen joukon kaikki osajoukot eli potenssijoukon ja laskee niiden lukumäärän. Syötä joukon alkiot, niin laskuri näyttää montako osajoukkoa joukolla on ja luettelee ne tyhjästä joukosta koko joukkoon asti. Työkalu sopii joukko-opin ja diskreetin matematiikan opiskeluun.
Mikä potenssijoukko on?
Joukon A potenssijoukko, merkitään P(A), on kaikkien A:n osajoukkojen joukko. Osajoukko on mikä tahansa joukko, jonka jokainen alkio kuuluu myös A:han. Potenssijoukkoon kuuluvat aina sekä tyhjä joukko ∅ että joukko A itse:
P(A) = { B | B ⊆ A }
Osajoukkojen lukumäärä
Jokaisen alkion kohdalla on kaksi mahdollisuutta: alkio joko kuuluu osajoukkoon tai ei kuulu. Kun n alkion valinnat tehdään toisistaan riippumatta, eri osajoukkoja syntyy:
|P(A)| = 2ⁿ, missä n = |A| on alkioiden lukumäärä
Esimerkiksi kolmialkioisella joukolla on 2³ = 8 osajoukkoa ja kymmenalkioisella jo 2¹⁰ = 1024 osajoukkoa. Lukumäärä kaksinkertaistuu jokaisen lisätyn alkion myötä.
Vaiheittainen esimerkki
Muodostetaan joukon A = {a, b, c} potenssijoukko. Alkioita on n = 3, joten osajoukkoja on 2³ = 8.
- 0 alkiota: ∅
- 1 alkio: {a}, {b}, {c}
- 2 alkiota: {a, b}, {a, c}, {b, c}
- 3 alkiota: {a, b, c}
Yhteensä 1 + 3 + 3 + 1 = 8 osajoukkoa. Tietyn kokoisten osajoukkojen määrät noudattavat binomikertoimia: rivi 1, 3, 3, 1 on Pascalin kolmion neljäs rivi.
Osajoukot ja binomikertoimet
Jos haluat tietää, kuinka monta täsmälleen k-alkioista osajoukkoa n-alkioisella joukolla on, vastaus on binomikerroin C(n, k). Kun nämä lasketaan yhteen kaikilla k:n arvoilla 0:sta n:ään, tulokseksi tulee 2ⁿ:
C(n,0) + C(n,1) + … + C(n,n) = 2ⁿ
Mihin potenssijoukkoa tarvitaan?
Potenssijoukko on keskeinen käsite joukko-opissa, todennäköisyyslaskennassa ja tietojenkäsittelytieteessä. Esimerkiksi tapahtumien yhdistelmien, totuusarvojen yhdistelmien ja kombinatoristen valintojen lukumäärät palautuvat usein potenssijoukon kokoon 2ⁿ. Potenssijoukon mahtavuus on aina aidosti suurempi kuin alkuperäisen joukon, mikä on perustana myös äärettömien joukkojen kokoerojen tarkastelulle.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on potenssijoukko?
Joukon A potenssijoukko P(A) on joukko, jonka alkioita ovat kaikki A:n osajoukot. Siihen kuuluvat sekä tyhjä joukko ∅ että joukko A kokonaisuudessaan. Esimerkiksi joukon {1, 2} potenssijoukko on { ∅, {1}, {2}, {1, 2} }.
Miksi osajoukkoja on 2^n?
Jokaisen alkion kohdalla on kaksi vaihtoehtoa: se joko kuuluu osajoukkoon tai ei kuulu. Kun valintoja tehdään n alkiolle riippumattomasti, vaihtoehtoja on 2 × 2 × … × 2 = 2^n. Siksi n-alkioisen joukon potenssijoukossa on aina 2^n osajoukkoa.
Kuuluuko tyhjä joukko potenssijoukkoon?
Kyllä. Tyhjä joukko ∅ on jokaisen joukon osajoukko, joten se kuuluu aina potenssijoukkoon. Myös joukko itse on yksi osajoukoistaan. Nämä kaksi ovat niin sanottuja triviaaleja osajoukkoja.
Mikä on tyhjän joukon potenssijoukko?
Tyhjässä joukossa on 0 alkiota, joten osajoukkoja on 2⁰ = 1. Tämä ainoa osajoukko on tyhjä joukko itse. Siis P(∅) = { ∅ }, joka on yksialkioinen joukko – se ei ole sama kuin tyhjä joukko.
Mitä jos joukossa on sama alkio kahdesti?
Joukossa jokainen alkio esiintyy vain kerran, joten toistuvat alkiot lasketaan yhdeksi. Laskuri poistaa kaksoiskappaleet automaattisesti ennen potenssijoukon muodostamista, jolloin esimerkiksi syöte "a, a, b" käsitellään joukkona {a, b}.
Oliko tästä laskurista apua?
