Havaintopisteet (x, y)
Kirjoita yksi piste riville muodossa "x, y". Erottimena voi käyttää pilkkua, välilyöntiä tai sarkainta. Tarvitset vähintään aste + 1 pistettä, joilla on eri x-arvot.
Polynomiregressio
Laske polynomiregressio: sovita pistejoukkoon haluamasi asteen polynomi y = c₀ + c₁x + … + c_d x^d pienimmän neliösumman menetelmällä.
Tulokset
Polynomiregressio – valitun asteen käyrä pistejoukkoon
Polynomiregressio sovittaa havaintopareihin (x, y) valitsemasi asteen polynomin pienimmän neliösumman menetelmällä. Se yleistää lineaarisen ja kvadraattisen regression mihin tahansa asteeseen, joten voit mallintaa sekä suoraviivaisia että monimutkaisempia kaarevia yhteyksiä. Laskuri antaa polynomin yhtälön, kaikki kertoimet, selitysasteen ja jäännösneliösumman.
Polynomimalli
Sovitettava käyrä on valitun asteen d polynomi:
y = c₀ + c₁x + c₂x² + … + c_d x^d
Kertoimet c₀ … c_d valitaan niin, että havaintojen ja käyrän pystysuuntaisten etäisyyksien neliöiden summa on pienin mahdollinen.
Normaaliyhtälöt
Pienimmän neliösumman ratkaisu saadaan lineaarisesta yhtälöryhmästä, jonka kertoimet kootaan aineiston potenssisummista Σx^k ja Σx^k·y. Ryhmässä on d + 1 yhtälöä ja d + 1 tuntematonta:
Σ x^(i+j) · c_j = Σ x^i · y, i = 0, 1, …, d
Tämä ryhmä ratkaistaan Gaussin eliminoinnilla, jolloin saadaan kaikki kertoimet kerralla.
Selitysaste
Sovituksen hyvyyttä mitataan selitysasteella, joka vertaa jäännösneliösummaa y:n kokonaisvaihteluun:
r² = 1 − Σ(yᵢ − ŷᵢ)² ÷ Σ(yᵢ − ȳ)²
Arvo lähellä yhtä tarkoittaa, että polynomi selittää suuren osan y:n vaihtelusta.
Vaiheittainen esimerkki
Sovitetaan toisen asteen polynomi pisteisiin (0, 1), (1, 2), (2, 5), (3, 10), jotka noudattavat yhtälöä y = x² + 1.
- Aste d = 2, joten ratkaistaan kolme kerrointa kolmen yhtälön ryhmästä.
- Ratkaisu antaa c₀ = 1, c₁ = 0 ja c₂ = 1.
- Sovitettu käyrä on y = x² + 1 ja selitysaste r² = 1.
Jos asteeksi valittaisiin 1, suora ei tavoittaisi kaarevuutta ja selitysaste jäisi pienemmäksi.
Asteen valinta
Polynomin aste määrää, kuinka monta mutkaa käyrällä voi olla: aste 1 on suora, aste 2 yksi mutka, aste 3 kaksi mutkaa ja niin edelleen. Korkeampi aste antaa aina vähintään yhtä suuren selitysasteen, mutta se voi mukautua satunnaisvaihteluun. Hyvä periaate on valita matalin aste, jolla sovitus on riittävä ja käyrä kuvaa ilmiötä mielekkäästi.
Käytön huomioita
- Ylisovitus: liian korkea aste seuraa havaintojen kohinaa eikä ennusta hyvin uusia arvoja.
- Ekstrapolointi: polynomit kääntyvät jyrkästi havaintovälin ulkopuolella, joten ennusteet siellä ovat epävarmoja.
- Skaalaus: hyvin suuret x-arvot kasvattavat korkeita potenssisummia voimakkaasti; tarvittaessa x-arvot voi siirtää lähemmäs nollaa.
Usein kysytyt kysymykset
Mitä polynomiregressio tekee?
Polynomiregressio sovittaa pistejoukkoon valitun asteen polynomin niin, että pisteiden ja käyrän pystysuuntaisten etäisyyksien neliöiden summa on pienin mahdollinen. Se yleistää lineaarisen ja kvadraattisen regression mihin tahansa asteeseen, joten sillä voi mallintaa monimutkaisiakin kaarevia yhteyksiä.
Minkä asteen polynomi kannattaa valita?
Aste kannattaa pitää mahdollisimman matalana, joka vielä kuvaa ilmiön muodon. Aste 1 antaa suoran, aste 2 yhden mutkan ja aste 3 kaksi mutkaa. Liian korkea aste mukautuu satunnaisvaihteluun (ylisovitus) eikä ennusta luotettavasti. Hyvä nyrkkisääntö on valita matalin aste, jolla selitysaste ei enää merkittävästi parane.
Kuinka monta pistettä tarvitaan?
Asteen d polynomin yksikäsitteiseen määräämiseen tarvitaan vähintään d + 1 pistettä, joilla on eri x-arvot. Esimerkiksi kolmannen asteen polynomiin tarvitaan vähintään neljä pistettä. Luotettavaan sovitukseen kannattaa käyttää selvästi enemmän havaintoja kuin minimi.
Mitä selitysaste r² kertoo?
Selitysaste r² kuvaa, kuinka suuri osuus y:n vaihtelusta selittyy sovitetulla polynomilla. Arvo 1 tarkoittaa täydellistä sovitusta ja 0 sitä, ettei malli selitä vaihtelua lainkaan. On hyvä muistaa, että korkeampi aste antaa aina vähintään yhtä suuren r²:n, joten pelkkä r² ei riitä asteen valintaan.
Mikä on ylisovitus?
Ylisovitus tarkoittaa, että malli on niin joustava, että se seuraa havaintojen satunnaisvaihtelua todellisen ilmiön sijaan. Korkean asteen polynomi voi kulkea tarkasti kaikkien pisteiden kautta mutta heilahdella villisti niiden välissä ja antaa huonoja ennusteita. Siksi astetta ei kannata kasvattaa tarpeettomasti.
Oliko tästä laskurista apua?