Liittolukulaskuri

Laske kompleksiluvun a + bi liittoluku eli konjugaatti a − bi sekä siihen liittyvät suureet: itseisarvo, vaihekulma ja tulo z · z̄.

Kompleksiluku (a + bi)

Syötä reaaliosa a ja imaginaariosa b. Laskuri näyttää liittoluvun sekä siihen liittyvät suureet heti.

Esimerkkejä:

Tulokset

  • Tulosta
  • Linkitä

    • Liittolukulaskuri – kompleksiluvun konjugaatti helposti

    Liittolukulaskuri laskee kompleksiluvun a + bi liittoluvun eli konjugaatin. Syötä luvun reaali- ja imaginaariosa, niin laskuri näyttää konjugaatin a − bi sekä siihen kytkeytyvät suureet: itseisarvon, vaihekulman ja tulon z · z̄. Laskuri sopii matematiikan ja tekniikan opiskelijoille sekä kaikille, jotka työskentelevät kompleksilukujen kanssa.

    Mikä liittoluku on?

    Kompleksiluvun z = a + bi liittoluku eli kompleksikonjugaatti merkitään z̄ (tai joissakin lähteissä z*). Se saadaan vaihtamalla imaginaariosan etumerkki, kun reaaliosa pidetään ennallaan:

    z = a + bi ⟹ z̄ = a − bi

    Kompleksitasossa konjugaatti on alkuperäisen luvun peilikuva reaaliakselin (vaaka-akselin) suhteen. Esimerkiksi luvun 3 + 4i liittoluku on 3 − 4i.

    Tulo z · z̄ on reaaliluku

    Kun kompleksiluku kerrotaan liittoluvullaan, imaginaariosa katoaa ja jäljelle jää reaaliluku:

    z · z̄ = (a + bi)(a − bi) = a² + b²

    Tämä on samalla luvun itseisarvon neliö, sillä |z|² = a² + b². Tulos on aina ei-negatiivinen, eli vähintään nolla.

    Itseisarvo ja vaihekulma

    Liittoluvun avulla itseisarvo eli moduli voidaan kirjoittaa muodossa:

    |z| = √(z · z̄) = √(a² + b²)

    Vaihekulma eli argumentti on kulma, jonka luku muodostaa positiivisen reaaliakselin kanssa, ja se lasketaan funktiolla atan2(b, a). Konjugoinnissa vaihekulman etumerkki kääntyy: arg(z̄) = −arg(z).

    Liittoluvun ominaisuuksia

    Vaiheittainen esimerkki

    Otetaan luku z = 3 + 4i.

    Mihin liittolukua tarvitaan?

    Liittoluku on keskeinen apuväline kompleksilukujen jakolaskussa: osamäärä lavennetaan nimittäjän liittoluvulla, jolloin nimittäjästä tulee reaaliluku ja jako on helppo laskea. Konjugaattia käytetään myös signaalinkäsittelyssä, sähkötekniikan vaihtosähkölaskuissa sekä polynomien juurten tarkastelussa, sillä reaalikertoimisen polynomin kompleksijuuret esiintyvät aina liittolukupareina.

    Usein kysytyt kysymykset

    Mikä on liittoluku eli konjugaatti?
    Kompleksiluvun z = a + bi liittoluku eli konjugaatti merkitään z̄ ja saadaan vaihtamalla imaginaariosan etumerkki: z̄ = a − bi. Reaaliosa a säilyy ennallaan. Kompleksitasossa konjugaatti on luvun peilikuva reaaliakselin suhteen.
    Mihin liittolukua käytetään?
    Liittolukua tarvitaan erityisesti kompleksilukujen jakolaskussa: osamäärä lavennetaan nimittäjän liittoluvulla, jolloin nimittäjästä tulee reaaliluku. Lisäksi tulo z · z̄ = a² + b² antaa luvun itseisarvon neliön, ja konjugaatti esiintyy esimerkiksi reaalikertoimisten polynomien juurissa.
    Miksi z · z̄ on aina reaaliluku?
    Kun lasketaan tulo (a + bi)(a − bi), imaginaaritermit kumoavat toisensa: abi − abi = 0. Jäljelle jää a² − (bi)² = a² + b², koska i² = −1. Tulos on aina ei-negatiivinen reaaliluku, ja se on samalla itseisarvon neliö |z|².
    Mikä on reaaliluvun liittoluku?
    Jos luvulla ei ole imaginaariosaa (b = 0), se on reaaliluku ja sen liittoluku on luku itse: reaaliluvun a liittoluku on a. Vastaavasti puhtaan imaginaariluvun bi liittoluku on −bi.
    Miten liittoluku liittyy itseisarvoon?
    Kompleksiluvun itseisarvo eli moduli on |z| = √(a² + b²). Koska z · z̄ = a² + b², itseisarvo voidaan kirjoittaa muodossa |z| = √(z · z̄). Liittoluku on siis suora tapa laskea luvun pituus kompleksitasossa.
    Oliko tästä laskurista apua?

    Kokeile näitä laskureita

    MassaprosenttilaskuriMassaprosentti molaarisuudeksiTasapainovakiolaskuriGibbsin energia -laskuriProsenttiyksikkölaskuriKaltevuusprosenttiKompleksilukulaskuriTotuustaulukko

    Linkitä tämä laskuri

    Kopioi koodi ja liitä se omalle sivustollesi.
    Kaikki Raha ja talousPalkka- ja verolaskuritSäästö- ja budjettilaskuritAsumiskustannuslaskuritLaina- ja korkolaskuritSijoitus- ja tuottolaskuritPankki- ja maksulaskuritYritystalouden laskurit
    Kaikki Aika ja päivämäärätNimipäivätPäivälaskuritKalenteri ja viikotJuhlat ja pyhätLomakalenteritAikavyöhykkeetAikajanat ja historia
    Kaikki Auto ja liikkuminenKustannukset ja polttoaineMatka ja aikaRahoitus
    Kaikki Koti ja rakentaminenRakennus ja remonttiEnergia ja sähköBudjetti ja kustannuksetKeittiö ja reseptitPiha ja puutarha
    Kaikki YksikkömuunnoksetPituus ja painoTilavuus ja keittiöLämpö ja energiaData ja teknologiaVaatteet ja kengät
    Kaikki Matematiikka ja tiedePeruslaskentaProsentit ja suhteetMurtoluvut ja desimaalitLukujonot ja peruslaskutaitoGeometria ja muodotFunktiot ja yhtälötDerivoinnit ja integraalitMatriisit ja lineaarialgebraTilastot ja todennäköisyysTrigonometria ja hyperboliset funktiotEdistyneet laskutLukujärjestelmät ja muunnoksetFysiikkaSähkö ja elektroniikkaKemiaTietotekniikka ja data
    Kaikki Arjen hyötytyökalutTeksti ja laskentaAjan ja työn laskuritSatunnaisuusHauskat ja sosiaaliset
    Kaikki Digi- ja koodityökalutKoodausmuuntimetData-formaatitHash-generaattoritLukujärjestelmätVäritKuvat ja tiedostot
    Kaikki Terveys ja kuntoiluPaino ja mittasuhteetRavinto ja energiaLiikunta ja sykeUni ja lepoRaskaus ja hedelmällisyysTestit ja hyvinvointi
    Kaikki Viihde ja vapaa-aikaPelit ja pisteetRakkaus ja horoskoopitLemmikitNimigeneraattorit ja testitAjanhallinta & tapahtumat

    Suositut laskurit

    ALV-laskuri Prosenttilaskuri Asuntolainalaskuri Yleinen lainalaskuri Nettopalkkalaskuri Painoindeksi BMI