Havaintopisteet (x, y)
Kirjoita yksi piste riville muodossa "x, y". Erottimena voi käyttää pilkkua, välilyöntiä tai sarkainta. Tarvitset vähintään neljä pistettä, joilla on eri x-arvot.
Kuutiollinen regressio
Laske kuutiollinen regressio: sovita kolmannen asteen käyrä y = ax³ + bx² + cx + d pistejoukkoon pienimmän neliösumman menetelmällä.
Tulokset
Kuutiollinen regressio – paras kolmannen asteen käyrä
Kuutiollinen regressio sovittaa havaintopareihin (x, y) parhaiten sopivan kolmannen asteen käyrän. Se sopii aineistoon, jossa yhteys kaartuu kahdesti – esimerkiksi nousee, kääntyy laskuun ja nousee jälleen. Laskuri käyttää pienimmän neliösumman menetelmää ja antaa käyrän yhtälön, kertoimet, selitysasteen ja jäännösneliösumman.
Kolmannen asteen malli
Sovitettava käyrä on muotoa:
y = ax³ + bx² + cx + d
Kertoimet a, b, c ja d valitaan pienimmän neliösumman menetelmällä niin, että pisteiden ja käyrän pystysuuntaisten etäisyyksien neliöiden summa on pienin mahdollinen.
Normaaliyhtälöt
Kertoimet saadaan ratkaisemalla neljän yhtälön ryhmä, joka kootaan aineiston potenssisummista Σx, Σx², …, Σx⁶ ja summista Σy, Σxy, Σx²y, Σx³y:
a·Σx⁶ + b·Σx⁵ + c·Σx⁴ + d·Σx³ = Σx³y
a·Σx⁵ + b·Σx⁴ + c·Σx³ + d·Σx² = Σx²y
a·Σx⁴ + b·Σx³ + c·Σx² + d·Σx = Σxy
a·Σx³ + b·Σx² + c·Σx + d·n = Σy
Tämä lineaarinen yhtälöryhmä ratkaistaan Gaussin eliminoinnilla, jolloin saadaan kertoimet a, b, c ja d.
Selitysaste
Sovituksen hyvyyttä mitataan selitysasteella, joka vertaa jäännösneliösummaa y:n kokonaisvaihteluun:
r² = 1 − Σ(yᵢ − ŷᵢ)² ÷ Σ(yᵢ − ȳ)²
Arvo lähellä yhtä tarkoittaa, että käyrä selittää suuren osan y:n vaihtelusta.
Vaiheittainen esimerkki
Sovitetaan kuutiokäyrä pisteisiin (−2, −8), (−1, −1), (0, 0), (1, 1) ja (2, 8), jotka noudattavat tarkasti yhtälöä y = x³.
- Aineistosta muodostetut neljä normaaliyhtälöä ratkaistaan Gaussin eliminoinnilla.
- Ratkaisu antaa a = 1, b = 0, c = 0 ja d = 0.
- Sovitettu käyrä on y = x³ ja selitysaste r² = 1.
Jos asteeksi valittaisiin 2, paraabeli ei tavoittaisi käyrän kahta käännöstä ja selitysaste jäisi pienemmäksi.
Kuution muoto ja käännekohdat
Kolmannen asteen käyrällä voi olla enintään kaksi ääriarvokohtaa (huippu ja pohja) ja yksi käännepiste, jossa kaarevuuden suunta vaihtuu. Kerroin a määrää käyrän yleissuunnan: jos a on positiivinen, käyrä tulee vasemmalta alhaalta ja päätyy oikealla ylös, ja jos a on negatiivinen, suunta on päinvastainen. Tämä joustavuus tekee kuutiosta hyvän mallin S-mäisille ilmiöille.
Käytön huomioita
- Ylisovitus: kolmas aste mukautuu jo melko vapaasti, joten harvaan aineistoon se voi sovittua liiankin tarkasti.
- Ekstrapolointi: kuutio kasvaa tai pienenee jyrkästi havaintovälin ulkopuolella, joten ennusteet siellä ovat erityisen epävarmoja.
- Skaalaus: suuret x-arvot kasvattavat Σx⁶-termiä voimakkaasti; tarvittaessa x-arvot voi siirtää lähemmäs nollaa numeerisen tarkkuuden vuoksi.
Usein kysytyt kysymykset
Mitä kuutiollinen regressio tekee?
Kuutiollinen regressio sovittaa pisteisiin parhaiten sopivan kolmannen asteen käyrän y = ax³ + bx² + cx + d. Käyrä valitaan pienimmän neliösumman menetelmällä eli niin, että pisteiden ja käyrän pystysuuntaisten etäisyyksien neliöiden summa on mahdollisimman pieni. Se sopii aineistoon, jossa on kaksi käännekohtaa eli nousu, lasku ja taas nousu (tai päinvastoin).
Milloin kuutiollinen regressio kannattaa?
Kuutiollinen regressio kannattaa, kun pisteet muodostavat S-mäisen tai kahdesti kaartuvan kuvion, jota suora tai paraabeli ei tavoita. Jos aineistossa on vain yksi mutka, kvadraattinen regressio riittää, ja täysin suoraviivaiseen yhteyteen sopii lineaarinen regressio. Astetta ei kannata nostaa tarpeettomasti ylisovituksen välttämiseksi.
Miten kertoimet a, b, c ja d lasketaan?
Kertoimet ratkaistaan neljän normaaliyhtälön ryhmästä, joka muodostetaan aineiston potenssisummista Σx, Σx², …, Σx⁶ sekä summista Σy, Σxy, Σx²y ja Σx³y. Tämä lineaarinen yhtälöryhmä ratkaistaan Gaussin eliminoinnilla, jolloin saadaan kaikki neljä kerrointa kerralla.
Kuinka monta pistettä tarvitaan?
Kolmannen asteen käyrän yksikäsitteiseen määräämiseen tarvitaan vähintään neljä pistettä, joilla on eri x-arvot. Luotettavampaan sovitukseen kannattaa käyttää selvästi useampaa havaintoa, koska neljällä pisteellä käyrä kulkee tarkasti pisteiden kautta eikä kuvaa vaihtelua.
Mitä selitysaste r² kertoo?
Selitysaste r² kuvaa, kuinka suuri osuus y:n vaihtelusta selittyy sovitetulla käyrällä. Arvo 1 tarkoittaa täydellistä sovitusta ja 0 sitä, ettei malli selitä vaihtelua lainkaan. Koska korkeampi aste antaa aina vähintään yhtä suuren r²:n, on hyvä verrata sitä myös matalamman asteen malliin.
Oliko tästä laskurista apua?