Kompleksilukulaskuri
Laske kahdella kompleksiluvulla yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku – saat tuloksen muodossa a + bi sekä itseisarvon ja vaihekulman.
Tulokset
Kompleksilukulaskuri – laske kahdella kompleksiluvulla
Kompleksilukulaskuri auttaa sinua laskemaan kahdella kompleksiluvulla yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskut hetkessä. Syötä lukujen reaali- ja imaginaariosat sekä valitse laskutoimitus, niin laskuri näyttää tuloksen muodossa a + bi sekä sen itseisarvon, vaihekulman ja liittoluvun. Laskuri sopii matematiikan ja tekniikan opiskelijoille sekä kaikille, jotka tarvitsevat kompleksilukulaskuja.
Mikä on kompleksiluku?
Kompleksiluku on muotoa a + bi oleva luku. Reaaliosa a on tavallinen luku, ja imaginaariosa b on imaginaariyksikön i kerroin. Imaginaariyksikölle pätee i² = −1. Kompleksiluvut laajentavat reaalilukujärjestelmää niin, että esimerkiksi yhtälöllä x² = −1 on ratkaisu. Niitä käytetään paljon sähkötekniikassa, signaalinkäsittelyssä ja fysiikassa.
Yhteen- ja vähennyslasku
Yhteen- ja vähennyslaskussa reaaliosat ja imaginaariosat käsitellään erikseen:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Esimerkiksi (3 + 2i) + (1 + 4i) = 4 + 6i.
Kertolasku
Kertolaskussa termit kerrotaan ristiin kuten polynomeilla, ja sievennetään säännöllä i² = −1:
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Esimerkiksi (3 + 2i)(1 − 4i) = (3·1 − 2·(−4)) + (3·(−4) + 2·1)i = (3 + 8) + (−12 + 2)i = 11 − 10i.
Jakolasku
Jakolaskussa osamäärä lavennetaan nimittäjän liittoluvulla, jolloin nimittäjästä tulee reaaliluku:
(a + bi) / (c + di) = ((ac + bd) + (bc − ad)i) / (c² + d²)
Jako ei ole määritelty, jos nimittäjä c + di on nolla. Laskuri ilmoittaa tällöin virheestä.
Itseisarvo, vaihekulma ja liittoluku
Kompleksiluvun itseisarvo eli moduli kertoo etäisyyden origosta kompleksitasossa:
|a + bi| = √(a² + b²)
Vaihekulma eli argumentti on kulma positiiviseen reaaliakseliin nähden, ja se lasketaan funktiolla atan2(b, a). Liittoluku eli konjugaatti saadaan vaihtamalla imaginaariosan etumerkki: luvun a + bi liittoluku on a − bi.
Vaiheittainen esimerkki
Lasketaan tulo (3 + 2i)(1 − 4i) vaiheittain. Kerrotaan termit ristiin:
3·1 + 3·(−4i) + 2i·1 + 2i·(−4i)
Sievennetään: 3 − 12i + 2i − 8i². Koska i² = −1, viimeinen termi on +8:
3 + 8 + (−12 + 2)i = 11 − 10i
Tuloksen itseisarvo on √(11² + 10²) = √221 ≈ 14,87.
Mihin kompleksilukuja tarvitaan?
Kompleksilukuja käytetään muun muassa vaihtosähkön ja impedanssin laskennassa, signaalinkäsittelyssä, värähtelyilmiöiden mallinnuksessa ja kvanttimekaniikassa. Ne tekevät monista jaksollisista ilmiöistä helpommin laskettavia.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on kompleksiluku?
Kompleksiluku on muotoa a + bi oleva luku, jossa a on reaaliosa, b imaginaariosa ja i imaginaariyksikkö, jolle pätee i² = −1. Kompleksiluvut laajentavat reaalilukuja niin, että myös negatiivisista luvuista voidaan ottaa neliöjuuri.
Miten kompleksiluvut lasketaan yhteen?
Yhteen- ja vähennyslaskussa reaaliosat lasketaan yhteen keskenään ja imaginaariosat keskenään. Esimerkiksi (3 + 2i) + (1 + 4i) = (3 + 1) + (2 + 4)i = 4 + 6i. Sama logiikka pätee vähennyslaskuun osa kerrallaan.
Miten kompleksiluvut kerrotaan?
Kertolaskussa termit kerrotaan ristiin kuten polynomeilla ja käytetään sääntöä i² = −1. Kaava on (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Esimerkiksi (3 + 2i)(1 + 4i) = (3 − 8) + (12 + 2)i = −5 + 14i.
Miten kompleksiluvut jaetaan?
Jakolaskussa lavennetaan nimittäjän liittoluvulla, jolloin nimittäjästä tulee reaaliluku. Kaava on (a + bi) / (c + di) = ((ac + bd) + (bc − ad)i) / (c² + d²). Jako ei ole määritelty, jos nimittäjä on nolla.
Mitä tarkoittavat itseisarvo ja vaihekulma?
Kompleksiluvun itseisarvo eli moduli on |a + bi| = √(a² + b²), ja se kuvaa luvun etäisyyttä origosta kompleksitasossa. Vaihekulma eli argumentti on kulma, jonka luku muodostaa positiivisen reaaliakselin kanssa, ja se lasketaan funktiolla atan2(b, a).
Oliko tästä laskurista apua?