Joukko A
Kirjoita alkiot pilkulla, välilyönnillä tai puolipisteellä erotettuna. Toistuvat alkiot lasketaan yhdeksi.
Joukko B
Esimerkit:
Joukkojen yhdiste ja leikkaus
Laske joukkojen yhdiste A∪B, leikkaus A∩B, erotukset A∖B ja B∖A sekä symmetrinen erotus – syötä kahden joukon alkiot pilkulla erotettuna.
Tulokset
Joukkojen yhdiste ja leikkaus – joukko-operaatiot helposti
Tämä joukkolaskuri laskee kahden äärellisen joukon perusoperaatiot: yhdisteen, leikkauksen, molemmat erotukset ja symmetrisen erotuksen. Syötä joukkojen A ja B alkiot, niin laskuri näyttää tulokset alkiomäärineen ja kertoo, ovatko joukot erillisiä tai toistensa osajoukkoja. Työkalu sopii joukko-opin ja diskreetin matematiikan opiskeluun.
Yhdiste A∪B
Yhdiste sisältää kaikki alkiot, jotka kuuluvat ainakin toiseen joukkoon:
A ∪ B = { x | x ∈ A tai x ∈ B }
Jokainen alkio luetellaan vain kerran. Esimerkiksi {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
Leikkaus A∩B
Leikkaus sisältää vain joukoille yhteiset alkiot:
A ∩ B = { x | x ∈ A ja x ∈ B }
Esimerkiksi {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4} = {2, 3}. Jos leikkaus on tyhjä joukko, joukot ovat erilliset.
Erotus A∖B ja B∖A
Erotus A∖B sisältää ne A:n alkiot, jotka eivät kuulu B:hen:
A ∖ B = { x | x ∈ A ja x ∉ B }
Erotus ei ole vaihdannainen, joten A∖B ja B∖A ovat yleensä eri joukot. Esimerkiksi A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}: A∖B = {1}, B∖A = {4}.
Symmetrinen erotus A△B
Symmetrinen erotus sisältää alkiot, jotka kuuluvat täsmälleen toiseen joukoista:
A △ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B)
Yllä olevilla joukoilla A△B = {1, 4}.
Vaiheittainen esimerkki
Olkoot A = {1, 2, 3} ja B = {2, 3, 4}.
- Yhdiste: A∪B = {1, 2, 3, 4}, alkioita 4.
- Leikkaus: A∩B = {2, 3}, alkioita 2.
- Erotus A∖B = {1}, erotus B∖A = {4}.
- Symmetrinen erotus: A△B = {1, 4}.
Tarkistus alkiomäärille: |A∪B| = |A| + |B| − |A∩B| = 3 + 3 − 2 = 4. Tämä on niin sanottu sisältymis-poissulkemisperiaate.
Sisältymis-poissulkemisperiaate
Yhdisteen alkioiden lukumäärä voidaan laskea ilman, että yhteisiä alkioita lasketaan kahteen kertaan:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Mihin joukko-operaatioita tarvitaan?
Joukko-operaatiot ovat matematiikan perustyökaluja, joita käytetään todennäköisyyslaskennassa (tapahtumat ja niiden yhdistelmät), logiikassa, tietokantakyselyissä ja tietojenkäsittelytieteessä. Esimerkiksi todennäköisyydessä yhdiste vastaa "tai"-tapahtumaa ja leikkaus "ja"-tapahtumaa, ja sisältymis-poissulkemisperiaate on suoraa seurausta yllä esitetystä alkiomääräkaavasta.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on joukkojen yhdiste?
Joukkojen A ja B yhdiste A∪B on joukko, joka sisältää kaikki alkiot, jotka kuuluvat joukkoon A tai joukkoon B (tai molempiin). Jokainen alkio esiintyy yhdisteessä vain kerran. Esimerkiksi {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
Mikä on joukkojen leikkaus?
Joukkojen A ja B leikkaus A∩B on joukko, joka sisältää vain ne alkiot, jotka kuuluvat sekä joukkoon A että joukkoon B. Esimerkiksi {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4} = {2, 3}. Jos joukoilla ei ole yhteisiä alkioita, leikkaus on tyhjä joukko ja joukkoja sanotaan erillisiksi.
Mitä tarkoittaa joukkojen erotus?
Joukkojen erotus A∖B sisältää ne joukon A alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon B. Erotus ei ole vaihdannainen: A∖B ja B∖A ovat yleensä eri joukot. Esimerkiksi jos A = {1, 2, 3} ja B = {2, 3, 4}, niin A∖B = {1} ja B∖A = {4}.
Mikä on symmetrinen erotus?
Symmetrinen erotus A△B sisältää ne alkiot, jotka kuuluvat täsmälleen toiseen joukoista mutta ei molempiin. Se on yhdiste, josta on poistettu leikkaus: A△B = (A∪B) ∖ (A∩B). Esimerkiksi {1, 2, 3} △ {2, 3, 4} = {1, 4}.
Milloin joukko on toisen osajoukko?
Joukko A on joukon B osajoukko (A ⊆ B), jos jokainen A:n alkio kuuluu myös B:hen. Tämä pätee täsmälleen silloin, kun leikkaus A∩B on sama kuin A, tai vastaavasti kun erotus A∖B on tyhjä. Tyhjä joukko on jokaisen joukon osajoukko.
Oliko tästä laskurista apua?