Muoto
Parametrit
Anna yhden yrityksen onnistumistodennäköisyys, tavoiteltujen onnistumisten määrä ja tarkasteltava arvo.
Negatiivinen binomijakauma
Laske negatiivisen binomijakauman todennäköisyydet: montako yritystä tai epäonnistumista tarvitaan r:nteen onnistumiseen.
Tulokset
Negatiivinen binomijakauma – montako yritystä onnistumisiin
Negatiivinen binomijakauma vastaa kysymykseen: kuinka monta yritystä tarvitaan, ennen kuin saavutetaan tietty määrä onnistumisia? Se on luonteva malli tilanteissa, joissa toistetaan samaa koetta, kunnes onnistumisia on kertynyt riittävästi. Tämä laskuri laskee negatiivisen binomijakauman todennäköisyydet kahdessa yleisessä muodossa ja näyttää jakauman tunnusluvut.
Määritelmä
Toistetaan riippumattomia kokeita, joissa kunkin onnistumistodennäköisyys on p. Negatiivinen binomijakauma kuvaa, montako toistoa tarvitaan, ennen kuin onnistumisia on kertynyt r kappaletta. Sitä kutsutaan myös Pascalin jakaumaksi. Se on binomijakauman peilikuva: binomissa toistojen määrä on kiinteä ja onnistumiset vaihtelevat, tässä onnistumisten määrä on kiinteä ja toistojen määrä vaihtelee.
Kaava ja selitys
Kun X on r:nteen onnistumiseen tarvittavien yritysten määrä, pistetodennäköisyys on:
P(X = x) = C(x − 1, r − 1) · pʳ · (1 − p)^(x − r), kun x ≥ r
Vaihtoehtoisesti, kun Y on onnistumisia edeltävien epäonnistumisten määrä:
P(Y = y) = C(y + r − 1, y) · pʳ · (1 − p)^y, kun y ≥ 0
Odotusarvo ja varianssi yritysten muodossa ovat:
E(X) = r ÷ p
Var(X) = r · (1 − p) ÷ p²
Vaiheittainen esimerkki
Onnistumistodennäköisyys on p = 0,3 ja tavoitellaan r = 3 onnistumista. Mikä on todennäköisyys, että kolmas onnistuminen tulee täsmälleen viidennellä yrityksellä (x = 5)?
- Ennen viidettä yritystä on tultava 2 onnistumista 4 yrityksessä: C(4, 2) = 6.
- Kolmen onnistumisen todennäköisyys: p³ = 0,3³ = 0,027.
- Kahden epäonnistumisen todennäköisyys: (1 − p)² = 0,7² = 0,49.
- Yhdistä: 6 · 0,027 · 0,49 ≈ 0,079.
Keskimäärin kolmanteen onnistumiseen tarvitaan E(X) = 3 ÷ 0,3 = 10 yritystä.
Tuloksen tulkinta
- Pistetodennäköisyys kertoo, että r:s onnistuminen osuu täsmälleen valitulle yritykselle (tai epäonnistumismäärälle).
- Kertymä P(X ≤ x) on todennäköisyys saada r onnistumista enintään x yrityksessä.
- Odotusarvo kertoo keskimäärin tarvittavien yritysten määrän.
- Pieni p kasvattaa sekä odotusarvoa että hajontaa – onnistumisia joutuu odottamaan kauemmin.
Käyttökohteet
- Laadunvalvonta: montako tarkastusta tarvitaan tietyn vikamäärän löytämiseen.
- Myynti: montako yhteydenottoa tarvitaan kolmen kaupan saamiseksi.
- Peli ja onni: montako heittoa tarvitaan tietyn osumamäärän saavuttamiseen.
- Biologia ja epidemiologia: ylihajaantuneiden lukumäärien mallinnus.
Negatiivinen binomijakauma ja sukulaisjakaumat
Negatiivinen binomijakauma yleistää geometrisen jakauman: kun r = 1, odotetaan ensimmäistä onnistumista ja jakauma on geometrinen. Useamman riippumattoman geometrisen jakauman summa tuottaa negatiivisen binomijakauman. Jakaumaa käytetään myös laskettavan datan mallintamiseen silloin, kun varianssi on selvästi keskiarvoa suurempi eli aineisto on ylihajaantunutta – tällöin negatiivinen binomijakauma sopii usein paremmin kuin Poisson-jakauma.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on negatiivinen binomijakauma?
Negatiivinen binomijakauma (Pascalin jakauma) kuvaa, kuinka monta toistoa tarvitaan, ennen kuin saavutetaan ennalta määrätty määrä onnistumisia r. Toistot ovat riippumattomia ja jokaisen onnistumistodennäköisyys on sama p. Toisin kuin binomijakaumassa, jossa toistojen määrä on kiinteä ja onnistumiset vaihtelevat, tässä onnistumisten määrä on kiinteä ja toistojen määrä vaihtelee.
Miten negatiivinen binomitodennäköisyys lasketaan?
Kun X on r:nteen onnistumiseen tarvittavien yritysten määrä, P(X = x) = C(x − 1, r − 1) · pʳ · (1 − p)^(x − r), jossa x ≥ r. Viimeisen yrityksen on oltava onnistuminen, ja sitä ennen on tultava r − 1 onnistumista x − 1 yrityksessä. Vaihtoehtoisessa muodossa lasketaan onnistumisia edeltävien epäonnistumisten y määrä: P(Y = y) = C(y + r − 1, y) · pʳ · (1 − p)^y.
Mitä eroa on yritysten ja epäonnistumisten muodolla?
Molemmat kuvaavat samaa ilmiötä, mutta laskettava suure on eri. Yritysten muodossa X on kaikkien yritysten määrä r:nteen onnistumiseen asti (X ≥ r). Epäonnistumisten muodossa Y on vain epäonnistumisten määrä ennen r:ttä onnistumista (Y ≥ 0). Niiden välillä pätee X = Y + r, joten todennäköisyydet vastaavat toisiaan. Valitse muoto sen mukaan, lasketko kaikki yritykset vai pelkät epäonnistumiset.
Miten geometrinen jakauma liittyy negatiiviseen binomijakaumaan?
Geometrinen jakauma on negatiivisen binomijakauman erikoistapaus, jossa r = 1 eli odotetaan ensimmäistä onnistumista. Tällöin P(X = x) = p · (1 − p)^(x − 1). Negatiivinen binomijakauma yleistää tämän mihin tahansa onnistumisten määrään r. Useamman geometrisen jakauman summa tuottaa negatiivisen binomijakauman.
Mikä on negatiivisen binomijakauman odotusarvo?
Yritysten muodossa odotusarvo on E(X) = r ÷ p, eli keskimäärin tarvittavien yritysten määrä. Varianssi on Var(X) = r · (1 − p) ÷ p². Epäonnistumisten muodossa odotusarvo on E(Y) = r · (1 − p) ÷ p, joka on r yritystä pienempi. Mitä pienempi onnistumistodennäköisyys p, sitä enemmän yrityksiä keskimäärin tarvitaan.
Oliko tästä laskurista apua?