Tilastot ja todennäköisyys

Keskeinen raja-arvolause (CLT)

Laske otoskeskiarvon jakauman keskiarvo ja keskivirhe σ ÷ √n sekä todennäköisyyksiä keskeisen raja-arvolauseen avulla.

Perusjoukko ja otoskoko

Anna perusjoukon keskiarvo ja keskihajonta sekä otoskoko. Keskivirhe lasketaan kaavalla σ ÷ √n.

Todennäköisyys otoskeskiarvolle (valinnainen)

Valitse hännän suunta ja anna raja-arvo(t) otoskeskiarvolle x̄. Laskuri laskee todennäköisyyden normaaliapproksimaatiolla.

Mainos
LAINOJEN KILPAILUTUS

Kilpailuta lainat – yksi hakemus, monta tarjousta

  • Vertaile tarjoukset todellisen vuosikoron mukaan
  • Yksi hakemus usealle pankille
  • Palvelu on sinulle maksuton
Kilpailuta lainat

Keskeinen raja-arvolause – otoskeskiarvon jakauma

Keskeinen raja-arvolause (CLT) on yksi tilastotieteen tärkeimmistä tuloksista. Se kertoo, että otoskeskiarvon jakauma lähestyy normaalijakaumaa, kun otoskoko kasvaa – riippumatta perusjoukon jakauman muodosta. Tämä laskuri laskee otoskeskiarvon jakauman keskiarvon ja keskivirheen sekä halutessasi todennäköisyyden, että otoskeskiarvo osuu valitulle välille.

Määritelmä

Kun perusjoukosta poimitaan satunnaisotoksia ja jokaisesta lasketaan keskiarvo, näiden otoskeskiarvojen jakaumaa kutsutaan otosjakaumaksi. Keskeinen raja-arvolause sanoo, että suurilla otoksilla tämä otosjakauma on likimain normaalinen, sen keskiarvo on perusjoukon keskiarvo μ ja sen keskihajonta on keskivirhe σ ÷ √n.

Kaava ja selitys

Otoskeskiarvon jakauman tunnusluvut:

otoskeskiarvon keskiarvo: μx̄ = μ

keskivirhe: σx̄ = σ ÷ √n

Tässä μ on perusjoukon keskiarvo, σ perusjoukon keskihajonta ja n otoskoko. Todennäköisyys otoskeskiarvolle lasketaan standardoimalla raja z-arvoksi:

z = (x̄ − μ) ÷ (σ ÷ √n)

minkä jälkeen todennäköisyys luetaan standardinormaalijakaumasta.

Vaiheittainen esimerkki

Perusjoukon keskiarvo on μ = 100 ja keskihajonta σ = 15. Poimitaan otos, jonka koko on n = 36. Mikä on todennäköisyys, että otoskeskiarvo jää alle 95?

  1. Keskivirhe: σ ÷ √n = 15 ÷ √36 = 15 ÷ 6 = 2,5.
  2. Standardoi raja: z = (95 − 100) ÷ 2,5 = −2,0.
  3. Todennäköisyys: P(z < −2,0) ≈ 0,023 eli noin 2,3 %.

Vaikka yksittäisten havaintojen jakauma ei olisi normaalinen, otoskeskiarvon jakauma on tällä otoskoolla riittävän lähellä normaalia, jotta laskenta on perusteltu.

Tuloksen tulkinta

Keskivirhe kertoo, kuinka tarkasti otoskeskiarvo arvioi perusjoukon keskiarvoa. Pieni keskivirhe tarkoittaa, että otoskeskiarvot keskittyvät tiukasti todellisen keskiarvon ympärille:

Käyttökohteet

Missä keskeistä raja-arvolausetta käsitellään opinnoissa?

Keskeinen raja-arvolause on tilastollisen päättelyn perusta. Lukion matematiikassa otoskeskiarvon jakaumaa ja keskivirhettä sivutaan tilastojen ja todennäköisyyden yhteydessä. Yliopiston tilastotieteen ja todennäköisyyslaskennan kursseilla CLT johdetaan tarkemmin, ja se on perustana luottamusväleille, hypoteesitesteille sekä useimmille normaalijakaumaan nojaaville menetelmille.

Kokeile myös näitä palveluita

Mainos

Usein kysytyt kysymykset

Mitä keskeinen raja-arvolause tarkoittaa?
Keskeinen raja-arvolause (CLT) sanoo, että kun otoskoko n kasvaa riittävän suureksi, otoskeskiarvon jakauma lähestyy normaalijakaumaa riippumatta siitä, minkä muotoinen perusjoukon jakauma on. Otoskeskiarvon jakauman keskiarvo on sama kuin perusjoukon keskiarvo μ ja keskihajonta eli keskivirhe on σ ÷ √n. Tämä on yksi tilastollisen päättelyn kulmakivistä, koska se mahdollistaa normaalijakaumaan perustuvat menetelmät hyvin monenlaisille aineistoille.
Mikä on keskivirhe ja miten se lasketaan?
Keskivirhe (englanniksi standard error) on otoskeskiarvon jakauman keskihajonta. Se lasketaan kaavalla σ ÷ √n, jossa σ on perusjoukon keskihajonta ja n otoskoko. Esimerkiksi kun σ = 15 ja n = 36, keskivirhe on 15 ÷ 6 = 2,5. Keskivirhe pienenee, kun otoskoko kasvaa: nelinkertainen otos puolittaa keskivirheen, koska neliöjuuressa n nelinkertaistuu mutta juuri kaksinkertaistuu.
Kuinka suuri otoksen pitää olla, jotta CLT pätee?
Yleinen nyrkkisääntö on, että otoskoko n ≥ 30 riittää, jotta otoskeskiarvon jakauma on likimain normaalinen. Jos perusjoukon jakauma on jo valmiiksi lähellä normaalia, pienempikin otos riittää. Jos jakauma on hyvin vino tai siinä on poikkeavia arvoja, voidaan tarvita suurempi otos. Laskuri huomauttaa, jos otoskoko on pieni.
Miten lasken todennäköisyyden otoskeskiarvolle?
Otoskeskiarvo standardoidaan z-arvoksi kaavalla z = (x̄ − μ) ÷ (σ ÷ √n), minkä jälkeen todennäköisyys luetaan normaalijakaumasta. Esimerkiksi kun μ = 100, σ = 15 ja n = 36, keskivirhe on 2,5. Tällöin todennäköisyys, että otoskeskiarvo on alle 95, vastaa z-arvoa (95 − 100) ÷ 2,5 = −2,0. Laskuri tekee tämän automaattisesti valitsemallesi rajalle.
Eroaako otoskeskiarvon hajonta perusjoukon hajonnasta?
Kyllä. Yksittäisten havaintojen hajonta on perusjoukon keskihajonta σ, mutta otoskeskiarvojen hajonta on keskivirhe σ ÷ √n, joka on aina pienempi (kun n > 1). Keskiarvon laskeminen tasoittaa satunnaisvaihtelua, joten otoskeskiarvot keskittyvät tiukemmin perusjoukon keskiarvon ympärille kuin yksittäiset havainnot.
Oliko tästä laskurista apua?

Kokeile näitä laskureita

MassaprosenttilaskuriKemiaMassaprosentti molaarisuudeksiKemiaTasapainovakiolaskuriKemiaGibbsin energia -laskuriKemiaProsenttiyksikkölaskuriProsentit ja suhteetKaltevuusprosenttiGeometria ja muodot

Tilastot ja todennäköisyys

Kaikki laskurit
ArvosanalaskuriMatematiikka ja tiedeBinomi-, Poisson- ja normaalijakaumaMatematiikka ja tiedeKeskiarvo, mediaani, moodiMatematiikka ja tiedeKombinaatio- ja permutaatiolaskuriMatematiikka ja tiede

Suositut laskurit

Kaikki laskurit
ALV-laskuriYritystalouden laskuritProsenttilaskuriProsentit ja suhteetAsuntolainalaskuriLaina- ja korkolaskuritYleinen lainalaskuriLaina- ja korkolaskurit

Kokeile myös näitä palveluita

Mainos

Linkitä tämä laskuri

Kopioi koodi ja liitä se omalle sivustollesi.
Kaikki Raha ja talousPalkka- ja verolaskuritSäästö- ja budjettilaskuritAsumiskustannuslaskuritLaina- ja korkolaskuritSijoitus- ja tuottolaskuritPankki- ja maksulaskuritYritystalouden laskurit
Kaikki Aika ja päivämäärätNimipäivätPäivälaskuritKalenteri ja viikotJuhlat ja pyhätLomakalenteritAikavyöhykkeetAikajanat ja historia
Kaikki Auto ja liikkuminenKustannukset ja polttoaineMatka ja aikaRahoitus
Kaikki Koti ja rakentaminenRakennus ja remonttiEnergia ja sähköBudjetti ja kustannuksetKeittiö ja reseptitPiha ja puutarha
Kaikki YksikkömuunnoksetPituus ja painoTilavuus ja keittiöLämpö ja energiaData ja teknologiaVaatteet ja kengät
Kaikki Matematiikka ja tiedePeruslaskentaProsentit ja suhteetMurtoluvut ja desimaalitLukujonot ja peruslaskutaitoGeometria ja muodotFunktiot ja yhtälötDerivoinnit ja integraalitMatriisit ja lineaarialgebraTilastot ja todennäköisyysTrigonometria ja hyperboliset funktiotEdistyneet laskutLukujärjestelmät ja muunnoksetFysiikkaSähkö ja elektroniikkaKemiaTietotekniikka ja data
Kaikki Arjen hyötytyökalutTeksti ja laskentaAjan ja työn laskuritSatunnaisuusHauskat ja sosiaaliset
Kaikki Digi- ja koodityökalutKoodausmuuntimetData-formaatitHash-generaattoritLukujärjestelmätVäritKuvat ja tiedostot
Kaikki Terveys ja kuntoiluPaino ja mittasuhteetRavinto ja energiaLiikunta ja sykeUni ja lepoRaskaus ja hedelmällisyysTestit ja hyvinvointi
Kaikki Viihde ja vapaa-aikaPelit ja pisteetRakkaus ja horoskoopitLemmikitNimigeneraattorit ja testitAjanhallinta & tapahtumat

Suositut laskurit

ALV-laskuri Prosenttilaskuri Asuntolainalaskuri Yleinen lainalaskuri Nettopalkkalaskuri Painoindeksi BMI