Binomijakauman parametrit
Anna toistojen määrä n ja onnistumistodennäköisyys p (0–1). Voit syöttää p:n myös prosentteina.
Jatkuvuuskorjaus
Laske jatkuvuuskorjaus (±0,5), kun binomijakauma approksimoidaan normaalijakaumalla – saat korjatun rajan, z-arvon ja approksimaation sekä tarkan binomitodennäköisyyden vertailuksi.
Tulokset
Jatkuvuuskorjaus – diskreetistä jatkuvaan jakaumaan
Jatkuvuuskorjaus on pieni mutta tärkeä tarkistus, joka tehdään aina, kun diskreetti jakauma korvataan jatkuvalla. Tyypillisin tilanne on binomijakauman approksimointi normaalijakaumalla: koska binomimuuttuja saa vain kokonaislukuarvoja, rajaa siirretään 0,5:llä, jotta todennäköisyys tulee laskettua oikein. Tällä laskurilla saat korjatun rajan, z-arvon ja approksimaation sekä tarkan binomitodennäköisyyden vertailuksi.
Määritelmä
Diskreetti muuttuja saa arvoja vain erillisissä pisteissä, kun taas jatkuva jakauma jakaa todennäköisyyden välille. Kun binomijakauman pylväs sijaitsee kokonaisluvun k kohdalla, se ulottuu ajateltuna välille k − 0,5 … k + 0,5. Jatkuvuuskorjaus tarkoittaa, että normaaliapproksimaatiossa käytetään näitä puolikkailla siirrettyjä rajoja.
Kaava ja selitys
Binomijakaumalle B(n, p) odotusarvo ja keskihajonta ovat:
μ = n · p, σ = √( n · p · (1 − p) )
Korjatut normaaliapproksimaatiot eri vertailuille ovat:
P(X ≤ k) ≈ Φ( (k + 0,5 − μ) ÷ σ )
P(X < k) ≈ Φ( (k − 0,5 − μ) ÷ σ )
P(X ≥ k) ≈ 1 − Φ( (k − 0,5 − μ) ÷ σ )
P(X > k) ≈ 1 − Φ( (k + 0,5 − μ) ÷ σ )
Yksittäisen arvon todennäköisyys lasketaan välinä:
P(X = k) ≈ Φ( (k + 0,5 − μ) ÷ σ ) − Φ( (k − 0,5 − μ) ÷ σ )
Vaiheittainen esimerkki
Heitetään kolikkoa n = 20 kertaa (p = 0,5) ja lasketaan todennäköisyys saada enintään k = 8 kruunaa.
- Odotusarvo ja keskihajonta: μ = 20 · 0,5 = 10 ja σ = √(20 · 0,5 · 0,5) = √5 ≈ 2,236.
- Korjattu raja: k + 0,5 = 8,5, joten z = (8,5 − 10) ÷ 2,236 ≈ −0,671.
- Approksimaatio: P(X ≤ 8) ≈ Φ(−0,671) ≈ 0,251. Tarkka binomiarvo on noin 0,252, joten korjaus osuu hyvin.
Ilman korjausta käytettäisiin rajaa 8, jolloin z = (8 − 10) ÷ 2,236 ≈ −0,894 ja approksimaatio olisi noin 0,186 – selvästi kauempana oikeasta arvosta.
Tuloksen tulkinta
Korjattu raja kertoo, mitä arvoa normaalijakaumassa käytetään diskreetin rajaluvun sijaan. z-arvo ilmaisee, kuinka monta keskihajontaa korjattu raja on odotusarvosta. Vertaamalla approksimaatiota tarkkaan binomitodennäköisyyteen näet, kuinka hyvin normaalijakauma kuvaa tilannetta: mitä lähempänä arvot ovat toisiaan, sitä luotettavampi approksimaatio on.
Milloin approksimaatio toimii?
Normaaliapproksimaatio binomille on käyttökelpoinen, kun otos on riittävän suuri. Yleinen nyrkkisääntö on np ≥ 5 ja n(1 − p) ≥ 5; jotkut lähteet käyttävät rajaa 10. Mitä lähempänä p on arvoa 0,5, sitä symmetrisempi binomi on ja sitä paremmin normaalijakauma sopii. Hyvin vinoissa tapauksissa kannattaa harkita suoraan binomilaskentaa tai Poisson-approksimaatiota.
Jatkuvuuskorjaus opinnoissa
Jatkuvuuskorjaus kuuluu todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen perusteisiin osana keskeistä raja-arvolausetta ja binomin normaaliapproksimaatiota. Lukion pitkän matematiikan todennäköisyyskurssilla se esiintyy, kun binomitodennäköisyyksiä arvioidaan normaalijakaumalla, ja yliopiston tilastotieteessä korjaus on vakiokäytäntö diskreettien testisuureiden approksimoinnissa.
Usein kysytyt kysymykset
Mikä on jatkuvuuskorjaus?
Jatkuvuuskorjaus on 0,5:n suuruinen tarkistus, joka tehdään, kun diskreetti jakauma (kuten binomi) korvataan jatkuvalla jakaumalla (kuten normaalilla). Koska diskreetti muuttuja saa vain kokonaislukuarvoja, mutta jatkuva jakauma jakaa todennäköisyyden tasaisesti, rajaa siirretään puolikkaalla, jotta kokonaisluvun ympärille jäävä todennäköisyys tulee mukaan oikein.
Milloin jatkuvuuskorjausta käytetään?
Jatkuvuuskorjausta käytetään, kun binomijakauma B(n, p) approksimoidaan normaalijakaumalla. Approksimaatio on käyttökelpoinen, kun otos on riittävän suuri – nyrkkisääntönä np ≥ 5 ja n(1 − p) ≥ 5. Korjaus parantaa approksimaation tarkkuutta erityisesti pienillä ja keskisuurilla n:n arvoilla.
Lisätäänkö vai vähennetäänkö 0,5?
Suunta riippuu vertailusta. P(X ≤ k) ja P(X > k) käyttävät rajaa k + 0,5, kun taas P(X < k) ja P(X ≥ k) käyttävät rajaa k − 0,5. Yksittäisen arvon P(X = k) lasketaan välinä k − 0,5 … k + 0,5. Yleissääntö: ota mukaan koko se puolikas, joka kuuluu halutulle puolelle rajaa.
Kuinka tarkka normaaliapproksimaatio on?
Approksimaation tarkkuus paranee, kun n kasvaa ja p on lähellä arvoa 0,5. Hyvin vinoilla jakaumilla (p lähellä nollaa tai ykköstä) approksimaatio on heikompi, vaikka jatkuvuuskorjaus tehtäisiin. Tämä laskuri näyttää sekä approksimaation että tarkan binomitodennäköisyyden, joten voit verrata niitä suoraan.
Tarvitaanko jatkuvuuskorjausta aina?
Jatkuvuuskorjaus on suositeltava aina, kun diskreettiä jakaumaa approksimoidaan jatkuvalla, koska se vähentää systemaattista virhettä. Suurilla n:n arvoilla korjauksen vaikutus on pieni, mutta se ei koskaan heikennä tulosta. Kun lasketaan suoraan keskeisen raja-arvolauseen avulla suurta otosta, korjaus jätetään joskus pois, mutta binomin tapauksessa se kannattaa tehdä.
Oliko tästä laskurista apua?