Sievennä juuri
Syötä juuren alle tuleva kokonaisluku ja valitse juuren aste. Laskuri etsii suurimman tekijän ja sieventää muotoon a√b.
Pikavalinnat:
Juuren sieventäminen
Sievennä neliöjuuri tai muu juuri yksinkertaisimpaan muotoonsa, esimerkiksi √72 = 6√2. Laskuri erottaa suurimman neliötekijän juuren alta.
Tulokset
Juuren sieventäminen – kirjoita juuri muotoon a√b
Juuren sieventämisen laskuri muuntaa neliöjuuren tai muun juuren yksinkertaisimpaan tarkkaan muotoonsa. Tämä tarkoittaa, että juuren alle jätetään mahdollisimman pieni luku ja kaikki täydet tekijät siirretään juuren eteen kertoimeksi.
Mitä juuren sieventäminen tarkoittaa?
Juuri on sievennetyssä muodossa, kun sen alla oleva luku eli juurrettava ei sisällä enää yhtäkään neliötekijää. Sieventäminen perustuu juuren tulosääntöön, jolla juuren alla olevan luvun tulo voidaan jakaa kahden juuren tuloksi:
√(a · b) = √a · √b ⟹ √(a² · b) = a√b
Esimerkiksi √72 = √(36 · 2) = √36 · √2 = 6√2. Sievennetty muoto 6√2 on tarkka, kun taas desimaaliesitys 8,485… on vain likiarvo.
Suurin neliötekijä
Sieventäminen onnistuu nopeimmin etsimällä juuren alta suurin neliötekijä, eli suurin neliöluku, joka jakaa luvun tasan. Neliölukuja ovat:
4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 …
Luvulle 72 suurin neliötekijä on 36, joten 72 = 36 · 2 ja √72 = 6√2. Jos käytät pienempää neliötekijää (esimerkiksi 4), saat välituloksen 2√18, joka täytyy vielä sieventää loppuun: 2√18 = 2 · 3√2 = 6√2.
Vaiheittainen esimerkki
Sievennetään √200:
- Jaa luku tekijöihin: 200 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 = 2³ · 5².
- Erota parit (neliöt): 200 = (2² · 5²) · 2 = 100 · 2.
- Ota neliöjuuri tekijöistä: √100 = 10.
- Tulos: √200 = 10√2.
Tarkistus: 10√2 ≈ 10 · 1,41421 = 14,1421, ja myös √200 ≈ 14,1421. ✓
Tekijöihinjako apuna
Jos suurin neliötekijä on vaikea nähdä, jaa luku alkutekijöihin ja kerää tekijät pareiksi. Jokainen pari muodostaa neliön ja siirtyy juuren eteen yhtenä lukuna; parittomaksi jäänyt tekijä jää juuren alle:
√48 = √(2 · 2 · 2 · 2 · 3) = √(2² · 2² · 3) = 2 · 2 · √3 = 4√3
Samanmuotoisten juurten laskeminen
Juuret täytyy sieventää, ennen kuin niitä voi laskea yhteen tai vähentää. Vain juuret, joilla on sama juurrettava, voidaan yhdistää:
√8 + √18 = 2√2 + 3√2 = (2 + 3)√2 = 5√2
Ilman sieventämistä summa √8 + √18 näyttäisi siltä, ettei sitä voi yksinkertaistaa, vaikka tulos on siisti 5√2.
Kuutiojuuren ja korkeampien juurten sieventäminen
Sama idea toimii millä tahansa juuren asteella. Kuutiojuuresta erotetaan kuutiotekijä eli kolmannen potenssin tekijä:
∛(a³ · b) = a∛b esim. ∛54 = ∛(27 · 2) = 3∛2
Yleisesti n:nnestä juuresta erotetaan suurin n:nnen potenssin tekijä.
Juuren sieventäminen koulussa
Juurten sieventäminen kuuluu yläkoulun ja lukion matematiikkaan potenssien ja juurien laskusääntöjen yhteydessä. Pitkän matematiikan (MAA) kursseilla tarkka juurimuoto on usein vaadittu vastausmuoto, koska se on täsmällinen ja helpottaa jatkolaskuja. Aihe liittyy läheisesti alkutekijöihin jakoon, neliölukuihin ja juurilausekkeiden yhdistämiseen.
Usein kysytyt kysymykset
Mitä juuren sieventäminen tarkoittaa?
Juuren sieventäminen tarkoittaa juuren kirjoittamista yksinkertaisimpaan tarkkaan muotoon a√b, jossa juuren alle jäävä luku b on mahdollisimman pieni eikä sisällä enää yhtään neliötekijää. Esimerkiksi √72 sievenee muotoon 6√2.
Miten neliöjuuri sievennetään?
Etsi juuren alla olevasta luvusta suurin neliötekijä eli suurin luku, joka on jonkin kokonaisluvun neliö ja jakaa luvun tasan. Erota se juuren eteen: √(a²·b) = a√b. Esimerkiksi √72 = √(36 · 2) = √36 · √2 = 6√2.
Miksi juuri kannattaa sieventää?
Sievennetty muoto on tarkka eikä siinä esiinny pyöristysvirhettä toisin kuin desimaalimuodossa. Lisäksi samanmuotoiset juuret voidaan laskea yhteen vasta sievennettyinä, esimerkiksi √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2.
Mikä on neliövapaa luku?
Neliövapaa luku ei ole jaollinen millään neliöluvulla (4, 9, 16, 25 …) ykköstä lukuun ottamatta. Juuri on täysin sievennetty, kun juuren alle jäävä luku on neliövapaa. Esimerkiksi √2, √3, √6 ja √10 ovat jo sievennetyssä muodossa.
Voiko kuutiojuuren sieventää samalla tavalla?
Kyllä. Kuutiojuuresta erotetaan suurin kuutiotekijä eli kolmannen potenssin tekijä: ∛(a³·b) = a∛b. Esimerkiksi ∛54 = ∛(27 · 2) = 3∛2, koska 27 = 3³.
Oliko tästä laskurista apua?