Rationalisoitava murtoluku
Valitse nimittäjän muoto. Yksittäinen juuri tarkoittaa muotoa a/(c·√n) ja binomi muotoa a/(p+q·√n).
Nimittäjä: c · √n
Kerroin c juuren edessä (oletus 1) ja juuren alla oleva luku n.
Nimittäjän rationalisointi -laskuri
Poista neliöjuuri murtoluvun nimittäjästä laventamalla sopivalla tekijällä, jolloin nimittäjästä tulee rationaaliluku.
Tulokset
Nimittäjän rationalisointi -laskuri
Tämä laskuri rationalisoi murtoluvun nimittäjän eli poistaa neliöjuuren nimittäjästä. Valitse, onko nimittäjässä yksittäinen juuri vai juuren sisältävä summa, syötä luvut, ja laskuri näyttää sievennetyn rationalisoidun murtoluvun sekä sen desimaaliarvon tarkistusta varten.
Mitä rationalisointi tarkoittaa?
Rationalisoinnissa murtoluvun nimittäjästä poistetaan juuri muuttamatta luvun arvoa. Murtoluku lavennetaan sopivalla tekijällä, jolloin nimittäjästä tulee rationaaliluku eli juureton kokonais- tai murtoluku:
1/√3 = √3/3
Arvo säilyy, koska murtoluku kerrotaan tekijällä, joka on todellisuudessa yksi.
Tapaus 1: yksittäinen juuri nimittäjässä
Kun nimittäjässä on muoto √n (tai c·√n), kerrotaan sekä osoittaja että nimittäjä luvulla √n. Juuren neliö on alkuperäinen luku, joten nimittäjä muuttuu juurettomaksi:
a / √n = (a · √n) / (√n · √n) = (a · √n) / n
Esimerkki: rationalisoidaan 3/√2.
3/√2 = (3 · √2) / (√2 · √2) = 3√2 / 2 ≈ 2,121
Tarkistus: 3/√2 ≈ 3 / 1,414 ≈ 2,121. Arvot täsmäävät.
Tapaus 2: juuren sisältävä summa (liittoluku)
Kun nimittäjässä on juuren sisältävä summa tai erotus, kuten p + q√n, käytetään liittolukua p − q√n. Liittoluvulla lavennettaessa juuret kumoutuvat tulon muistikaavan ansiosta:
(p + q√n)(p − q√n) = p² − q²·n
Nimittäjä muuttuu siis rationaaliluvuksi. Koko murtoluku lavennetaan liittoluvulla:
a / (p + q√n) = a(p − q√n) / (p² − q²·n)
Vaiheittainen esimerkki liittoluvulla
Rationalisoidaan 5 / (3 + 2√5).
Liittoluku on 3 − 2√5. Lavennetaan sillä sekä osoittaja että nimittäjä. Nimittäjä:
(3 + 2√5)(3 − 2√5) = 3² − 2²·5 = 9 − 20 = −11
Osoittaja:
5(3 − 2√5) = 15 − 10√5
Tulos jaettuna nimittäjällä −11:
(15 − 10√5) / (−11) = −15/11 + (10/11)√5 ≈ 0,669
Tarkistus: 5 / (3 + 2√5) ≈ 5 / 7,472 ≈ 0,669. Arvot täsmäävät.
Juuren sieventäminen
Tulos kannattaa esittää sieventämällä juuri yksinkertaisimpaan muotoonsa. Neliöjuuresta otetaan erilleen suurin neliötekijä:
√8 = √(4·2) = 2√2
Tämän vuoksi esimerkiksi 6/√8 sievenee samaan muotoon kuin 3/√2 eli 3√2/2.
Miksi nimittäjä rationalisoidaan?
Juureton nimittäjä on perinteinen vakiomuoto, jossa vastaus esitetään. Se helpottaa murtolukujen vertailua ja yhteenlaskua sekä desimaaliarvon laskemista käsin, koska jakaminen kokonaisluvulla on helpompaa kuin jakaminen päättymättömällä desimaaliluvulla. Nykyään rationalisointi on ennen kaikkea sovittu esitystapa, jota lukion matematiikassa ja jatko-opinnoissa odotetaan.
Rationalisointi lukiossa
Nimittäjän rationalisointi kuuluu lukion matematiikan juuri- ja potenssilaskentaan. Sitä tarvitaan, kun lausekkeita sievennetään vakiomuotoon ja kun juurilausekkeita lasketaan yhteen. Liittoluvun käyttö pohjautuu summan ja erotuksen tulon muistikaavaan (a + b)(a − b) = a² − b².
Usein kysytyt kysymykset
Mitä nimittäjän rationalisointi tarkoittaa?
Rationalisointi tarkoittaa neliöjuuren poistamista murtoluvun nimittäjästä niin, että luvun arvo ei muutu. Murtoluku lavennetaan sopivalla juuritekijällä, jolloin nimittäjästä tulee rationaaliluku eli juureton. Esimerkiksi 1/√3 muuttuu muotoon √3/3.
Miksi juuri poistetaan nimittäjästä?
Juureton nimittäjä on perinteinen vakiomuoto, jossa vastaukset esitetään, ja se helpottaa murtolukujen vertailua, yhteenlaskua ja desimaaliarvon laskemista käsin. Nykyään se on ennen kaikkea sopimukseen perustuva esitystapa, jota koulutehtävissä yleensä vaaditaan.
Miten yksittäinen juuri nimittäjässä rationalisoidaan?
Kun nimittäjässä on muoto √n, kerrotaan sekä osoittaja että nimittäjä luvulla √n. Tällöin nimittäjäksi tulee √n · √n = n. Esimerkiksi 3/√2 = (3·√2)/(√2·√2) = 3√2/2.
Mikä on liittoluku ja milloin sitä käytetään?
Liittoluku tarkoittaa saman binomin etumerkiltään käännettyä paria: lukujen p + q√n liittoluku on p − q√n. Sitä käytetään, kun nimittäjässä on juuren sisältävä summa tai erotus. Kun lavennetaan liittoluvulla, juuret kumoutuvat, koska (p + q√n)(p − q√n) = p² − q²·n.
Muuttuuko murtoluvun arvo rationalisoinnissa?
Ei muutu. Murtoluku kerrotaan tekijällä, joka on todellisuudessa yksi (esimerkiksi √n/√n = 1), joten vain esitystapa muuttuu. Voit aina tarkistaa tuloksen laskemalla sekä alkuperäisen että rationalisoidun muodon desimaaliarvon — niiden tulee olla samat.
Oliko tästä laskurista apua?