Logaritmien yhdistäminen

Yhdistä logaritmien summa ja erotus yhdeksi logaritmiksi – kertoimet eksponenteiksi sekä tulon ja osamäärän säännöt käyttöön.

Kantaluku

Kaikilla termeillä on sama kantaluku. Kantaluvuksi käy myös kirjain e (Neperin luku).

Termi 1

Termi 2

Termi 3

Tulokset

  • Tulosta
  • Linkitä

    • Logaritmien yhdistäminen – tiivistä logaritmilauseke

    Logaritmien yhdistäminen auttaa sinua kokoamaan logaritmien summan ja erotuksen yhdeksi logaritmiksi laskusääntöjen avulla. Syötä termit kertoimineen ja merkkeineen, niin laskuri näyttää tiivistetyn lausekkeen ja laskee sen lukuarvon. Laskuri sopii lukion ja korkeakoulun matematiikkaan sekä kaikille, jotka opettelevat logaritmin laskusääntöjä.

    Yhdistämisen kolme sääntöä

    Logaritmien yhdistäminen on hajottamisen käänteisoperaatio, ja se käyttää samoja laskusääntöjä toiseen suuntaan:

    Yhdistämisen periaate

    Yhdistäminen etenee kahdessa vaiheessa. Ensin jokaisen termin kerroin siirretään argumentin eksponentiksi. Sitten plus-merkkiset termit kerätään yhden logaritmin osoittajaan ja miinus-merkkiset nimittäjään.

    2·log_b(x) + log_b(y) − log_b(z) = log_b(x²·y / z)

    Vaiheittainen esimerkki

    Yhdistetään 2·log₁₀(4) + log₁₀(9) − 3·log₁₀(2):

    1. Siirretään kertoimet eksponenteiksi: log₁₀(4²) + log₁₀(9) − log₁₀(2³).
    2. Kerätään plus-termit osoittajan tuloksi: log₁₀(4²·9) − log₁₀(2³).
    3. Siirretään miinus-termi nimittäjään: log₁₀(4²·9 / 2³).

    2·log₁₀(4) + log₁₀(9) − 3·log₁₀(2) = log₁₀(144 / 8) = log₁₀(18)

    Lukuarvona molemmat puolet ovat 1,25527, joten yhdistäminen on oikein.

    Sama kantaluku on edellytys

    Logaritmeja voidaan yhdistää suoraan vain, jos niillä on sama kantaluku. Jos kantaluvut eroavat, ne on ensin muutettava samaksi kannanvaihtokaavalla:

    log_b(x) = log_k(x) / log_k(b)

    Vasta saman kantaluvun logaritmit voidaan koota yhdeksi lausekkeeksi.

    Mihin yhdistämistä tarvitaan?

    Logaritmien yhdistämistä tarvitaan erityisesti logaritmiyhtälöiden ratkaisussa: kun useat logaritmit on koottu yhdeksi, logaritmi voidaan poistaa korottamalla kantalukuun ja ratkaista jäljelle jäävä yhtälö. Yhdistämistä käytetään myös lausekkeiden sieventämisessä ja kaavojen muokkaamisessa. Se on logaritmin hajottamisen luonnollinen vastapari.

    Usein kysytyt kysymykset

    Mitä logaritmien yhdistäminen tarkoittaa?
    Logaritmien yhdistäminen eli tiivistäminen tarkoittaa useamman logaritmin kirjoittamista yhdeksi logaritmiksi laskusääntöjen avulla. Se on logaritmin hajottamisen käänteisoperaatio. Yhdistäminen on hyödyllistä, kun logaritmilauseke halutaan saada mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon esimerkiksi yhtälön ratkaisua varten.
    Miten kerroin siirtyy eksponentiksi?
    Potenssin logaritmin säännön mukaan n·log_b(x) = log_b(xⁿ). Yhdistämisessä tämä luetaan käänteisesti: logaritmin edessä oleva kerroin siirretään logaritmin argumentin eksponentiksi. Esimerkiksi 2·log_b(x) = log_b(x²). Tämä tehdään jokaiselle termille ennen termien yhdistämistä.
    Miten summa ja erotus yhdistyvät?
    Tulon logaritmin säännön mukaan logaritmien summa yhdistyy argumenttien tuloksi: log_b(x) + log_b(y) = log_b(x·y). Osamäärän säännön mukaan logaritmien erotus yhdistyy osamääräksi: log_b(x) − log_b(y) = log_b(x/y). Plus-termit kerätään siis osoittajaan ja miinus-termit nimittäjään.
    Pitääkö kaikilla logaritmeilla olla sama kantaluku?
    Kyllä. Logaritmeja voidaan yhdistää suoraan vain, jos niillä on sama kantaluku. Jos kantaluvut eroavat, ne on ensin muutettava samaksi kannanvaihtokaavalla. Tässä laskurissa kaikilla termeillä on yhteinen kantaluku, jolloin yhdistäminen onnistuu suoraan.
    Mihin logaritmien yhdistämistä tarvitaan?
    Yhdistämistä tarvitaan logaritmiyhtälöiden ratkaisussa, kun monta logaritmia halutaan koota yhdeksi ja poistaa logaritmi korottamalla kantalukuun. Sitä käytetään myös lausekkeiden sieventämisessä ja kaavojen muokkaamisessa. Yhdistäminen ja hajottaminen ovat logaritmien peruslaskutaitoja.
    Oliko tästä laskurista apua?

    Kokeile näitä laskureita

    MassaprosenttilaskuriMassaprosentti molaarisuudeksiTasapainovakiolaskuriGibbsin energia -laskuriProsenttiyksikkölaskuriKaltevuusprosenttiPaino muilla planeetoillaTehopainosuhteen laskuri

    Linkitä tämä laskuri

    Kopioi koodi ja liitä se omalle sivustollesi.
    Kaikki Raha ja talousPalkka- ja verolaskuritSäästö- ja budjettilaskuritAsumiskustannuslaskuritLaina- ja korkolaskuritSijoitus- ja tuottolaskuritPankki- ja maksulaskuritYritystalouden laskurit
    Kaikki Aika ja päivämäärätNimipäivätPäivälaskuritKalenteri ja viikotJuhlat ja pyhätLomakalenteritAikavyöhykkeetAikajanat ja historia
    Kaikki Auto ja liikkuminenKustannukset ja polttoaineMatka ja aikaRahoitus
    Kaikki Koti ja rakentaminenRakennus ja remonttiEnergia ja sähköBudjetti ja kustannuksetKeittiö ja reseptitPiha ja puutarha
    Kaikki YksikkömuunnoksetPituus ja painoTilavuus ja keittiöLämpö ja energiaData ja teknologiaVaatteet ja kengät
    Kaikki Matematiikka ja tiedePeruslaskentaProsentit ja suhteetMurtoluvut ja desimaalitLukujonot ja peruslaskutaitoGeometria ja muodotFunktiot ja yhtälötDerivoinnit ja integraalitMatriisit ja lineaarialgebraTilastot ja todennäköisyysTrigonometria ja hyperboliset funktiotEdistyneet laskutLukujärjestelmät ja muunnoksetFysiikkaSähkö ja elektroniikkaKemiaTietotekniikka ja data
    Kaikki Arjen hyötytyökalutTeksti ja laskentaAjan ja työn laskuritSatunnaisuusHauskat ja sosiaaliset
    Kaikki Digi- ja koodityökalutKoodausmuuntimetData-formaatitHash-generaattoritLukujärjestelmätVäritKuvat ja tiedostot
    Kaikki Terveys ja kuntoiluPaino ja mittasuhteetRavinto ja energiaLiikunta ja sykeUni ja lepoRaskaus ja hedelmällisyysTestit ja hyvinvointi
    Kaikki Viihde ja vapaa-aikaPelit ja pisteetRakkaus ja horoskoopitLemmikitNimigeneraattorit ja testitAjanhallinta & tapahtumat

    Suositut laskurit

    ALV-laskuri Prosenttilaskuri Asuntolainalaskuri Yleinen lainalaskuri Nettopalkkalaskuri Painoindeksi BMI