Rydbergin yhtälön laskuri

Rydbergin yhtälön laskuri – vedyn spektriviivat

Rydbergin yhtälön laskurilla selvität vetyatomin spektriviivan aallonpituuden, kun valitset elektronin siirtymän kvanttiluvut. Laskuri laskee aallonpituuden lisäksi fotonin taajuuden ja energian sekä tunnistaa spektrisarjan. Se sopii atomifysiikan ja kvanttifysiikan tehtäviin.

Mitä Rydbergin yhtälö kuvaa?

Vetyatomin elektroni voi olla vain tietyillä energiatasoilla. Kun elektroni siirtyy ylemmältä tasolta alemmalle, erotusenergia säteilee fotonina, jolla on tarkka aallonpituus. Rydbergin yhtälö ennustaa nämä aallonpituudet ja selittää, miksi vedyn spektri koostuu erillisistä viivoista.

Yhtälön kaava

Spektriviivan aallonpituus saadaan kaavasta:

1/λ = R·(1/n₁² − 1/n₂²)

Tässä λ on aallonpituus, R ≈ 1,0974·10⁷ 1/m on Rydbergin vakio, n₁ on alemman tason kvanttiluku ja n₂ ylemmän tason kvanttiluku (n₂ > n₁). Aallonpituus saadaan ottamalla tuloksen käänteisluku.

Esimerkki: siirtymä n₂ = 3 → n₁ = 2 (Balmer-sarjan Hα) antaa 1/λ = R·(1/4 − 1/9), josta λ ≈ 656 nm – punaista valoa.

Spektrisarjat

• Lyman-sarja (n₁ = 1): ultraviolettialue, esim. n₂ = 2 → 1 antaa noin 122 nm.
• Balmer-sarja (n₁ = 2): näkyvä valo, esim. Hα 656 nm, Hβ 486 nm.
• Paschen-sarja (n₁ = 3): infrapuna, esim. n₂ = 4 → 3 antaa noin 1875 nm.

Vaiheittainen esimerkki

Lasketaan Balmer-sarjan Hα-viiva siirtymälle n₂ = 3 → n₁ = 2:

• 1/λ = R·(1/2² − 1/3²) = 1,0974·10⁷ · (0,25 − 0,1111) = 1,0974·10⁷ · 0,1389.
• 1/λ ≈ 1,524·10⁶ 1/m, joten λ ≈ 656 nm.
• Fotonin energia: E = h·c/λ ≈ 1,89 eV.

Fotonin energia ja taajuus

Aallonpituudesta saadaan fotonin taajuus ja energia:

f = c/λ    E = h·c/λ

Tässä c on valonnopeus ja h Planckin vakio. Mitä lyhyempi aallonpituus, sitä suurempi fotonin energia – siksi Lyman-sarjan ultraviolettifotonit ovat energisempiä kuin Balmer-sarjan näkyvän valon fotonit.

Merkitys fysiikan historiassa

Rydbergin yhtälö löydettiin alun perin kokeellisesti, ennen kuin sen syy ymmärrettiin. Niels Bohrin atomimalli selitti yhtälön johtamalla energiatasot teoreettisesti, ja myöhemmin kvanttimekaniikka vahvisti tuloksen. Yhtälö oli ratkaiseva askel kohti modernia käsitystä atomin rakenteesta.

Yleisiä virheitä

• Kvanttilukujen järjestys: n₂:n on oltava suurempi kuin n₁, muuten kaava antaa negatiivisen tuloksen. Siirtymä tapahtuu ylemmältä tasolta alemmalle.
• Käänteisluku: kaava antaa suureen 1/λ, joten aallonpituus saadaan ottamalla käänteisluku.
• Vain vety: tämä muoto pätee vetyatomille. Muille alkuaineille tarvitaan korjauksia ydinvarauksen ja elektronien vuorovaikutusten vuoksi.

Missä Rydbergin yhtälöä tarvitaan?

Rydbergin yhtälö kuuluu lukion fysiikan modernin fysiikan osioon (FY7, aine ja säteily) sekä atomifysiikkaan. Sitä sovelletaan tähtitieteessä alkuaineiden tunnistamiseen spektriviivojen perusteella ja spektroskopiassa yleisesti. Se liittyy läheisesti Bohrin atomimalliin ja fotonin energian käsitteeseen.