Neste
Syötä nesteen tiheys. Vedelle ρ ≈ 1000 kg/m³, ilmalle noin 1,2 kg/m³.
Kohta 1 (tunnettu)
Anna paine, nopeus ja korkeus kohdassa 1.
Kohta 2 (paine ratkaistaan)
Anna nopeus ja korkeus kohdassa 2. Laskuri ratkaisee paineen p₂.
Bernoullin yhtälön laskuri
Laske virtaavan nesteen paine toisessa kohdassa Bernoullin yhtälöstä, kun tiedät nopeudet, korkeudet ja tiheyden.
Bernoullin yhtälön laskuri – virtaavan nesteen paine
Bernoullin yhtälön laskurilla selvität virtaavan nesteen paineen yhdessä kohdassa, kun tunnet toisen kohdan tilan sekä nopeudet ja korkeudet. Laskuri perustuu energian säilymiseen virtaavassa nesteessä. Se sopii virtausmekaniikan tehtäviin sekä putkistojen ja virtausilmiöiden tarkasteluun.
Mitä Bernoullin yhtälö tarkoittaa?
Bernoullin yhtälö kertoo, että ihanteellisessa virtauksessa nesteen kokonaisenergia tilavuusyksikköä kohti säilyy virtaviivaa pitkin. Energia jakautuu kolmeen osaan: paine-energiaan, liike-energiaan ja korkeusenergiaan. Kun virtaus nopeutuu tai nousee, jokin muu termi pienenee vastaavasti.
Yhtälön muoto
Bernoullin yhtälö kirjoitetaan kahden virtaviivan kohdan välille:
p + ½ρv² + ρgh = vakio
Tässä p on staattinen paine, ½ρv² dynaaminen paine, ρgh hydrostaattinen paine, ρ nesteen tiheys, v virtausnopeus, h korkeus ja g putoamiskiihtyvyys. Kahden kohdan välillä paine kohdassa 2 ratkaistaan muodossa:
p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) + ρg(h₁ − h₂)
Vaiheittainen esimerkki
Vesi (ρ = 1000 kg/m³) virtaa putkessa. Kohdassa 1: p₁ = 200 kPa, v₁ = 2 m/s, h₁ = 0. Kohdassa 2: v₂ = 5 m/s, h₂ = 3 m. Lasketaan p₂:
- Nopeustermi: ½ · 1000 · (2² − 5²) = 500 · (4 − 25) = −10 500 Pa.
- Korkeustermi: 1000 · 9,81 · (0 − 3) = −29 430 Pa.
- Paine: p₂ = 200 000 − 10 500 − 29 430 ≈ 160 070 Pa eli noin 160 kPa.
- Paine laski, koska sekä nopeus että korkeus kasvoivat.
Staattinen, dynaaminen ja kokonaispaine
Kokonaispaine on staattisen ja dynaamisen paineen summa:
p_kok = p + ½ρv²
Staattinen paine on putken seinään kohdistuva paine, dynaaminen paine liittyy virtausnopeuteen. Pitot-putki mittaa kokonaispaineen, ja erotuksesta saadaan virtausnopeus – tätä käytetään esimerkiksi lentokoneiden nopeusmittauksessa.
Sovelluksia
- Lentokoneen siipi: ilma virtaa siiven yläpinnalla nopeammin, joten paine on siellä pienempi ja syntyy noste.
- Venturi-putki: kaventuvassa kohdassa nopeus kasvaa ja paine laskee, mitä hyödynnetään virtausmittareissa ja suihkupumpuissa.
- Vesitorni: korkealla oleva vesi muuttaa korkeusenergian paineeksi, kun se virtaa alas putkistoon.
Yleisiä virheitä
- Kitkan unohtaminen: Bernoullin yhtälö olettaa kitkattoman virtauksen. Pitkissä putkissa kitkahäviöt pienentävät painetta enemmän kuin pelkkä yhtälö ennustaa.
- Eri virtaviivat: yhtälö pätee saman virtaviivan kohdille. Eri virtaviivojen vertailu vaatii lisäoletuksia.
- Yksiköt: paine pascaleina, tiheys kg/m³, nopeus m/s ja korkeus metreinä, jotta termit ovat yhteismitallisia.
Missä Bernoullin yhtälöä tarvitaan?
Bernoullin yhtälö kuuluu lukion fysiikan virtausmekaniikan aiheisiin ja on keskeinen putkistojen, ilmailun ja vesirakentamisen suunnittelussa. Se täydentää jatkuvuusyhtälöä (A₁v₁ = A₂v₂), jonka kanssa sitä usein käytetään yhdessä virtauksen nopeuden ja paineen selvittämiseen putken eri kohdissa.
Kokeile myös näitä palveluita
Mainos
Usein kysytyt kysymykset
Mitä Bernoullin yhtälö kertoo?
Bernoullin yhtälö on energian säilymislaki virtaavalle nesteelle: p + ½ρv² + ρgh on vakio virtaviivaa pitkin. Termit ovat staattinen paine p, dynaaminen paine ½ρv² ja hydrostaattinen paine ρgh. Kun yksi termi kasvaa, muiden on pienennyttävä, jotta summa pysyy samana.
Miksi nopeuden kasvaessa paine pienenee?
Koska kokonaispaine säilyy, dynaamisen paineen ½ρv² kasvu nopeuden myötä vaatii staattisen paineen p pienenemistä (kun korkeus pysyy samana). Tämä selittää monia ilmiöitä: lentokoneen siiven noste, suihkupumput ja se, miksi kaventuvassa putkessa virtaus nopeutuu ja paine laskee.
Mitkä ovat Bernoullin yhtälön oletukset?
Yhtälö pätee, kun virtaus on tasaista (ei muutu ajassa), kokoonpuristumatonta (tiheys vakio), kitkatonta (ei viskositeettihäviöitä) ja kun tarkastellaan samaa virtaviivaa. Todellisissa virtauksissa kitka aiheuttaa häviöitä, mutta yhtälö antaa silti hyvän arvion monissa tilanteissa.
Mitä ovat staattinen ja dynaaminen paine?
Staattinen paine p on nesteen "tavallinen" paine, jonka esimerkiksi painemittari putken seinässä näyttää. Dynaaminen paine ½ρv² liittyy nesteen liikkeeseen ja kuvaa liike-energiaa tilavuusyksikköä kohti. Näiden summaa kutsutaan kokonaispaineeksi, ja se on se, mitä virtaukseen vastakkain asetettu mittari mittaa.
Toimiiko yhtälö myös kaasuille?
Kyllä, kunhan nopeus on selvästi äänen nopeutta pienempi, jolloin kaasua voidaan pitää lähes kokoonpuristumattomana. Tällöin ilmankin virtausta voidaan tarkastella Bernoullin yhtälöllä. Suurilla nopeuksilla (lähellä äänennopeutta) kaasun tiheys muuttuu merkittävästi ja tarvitaan tarkempi käsittely.
Oliko tästä laskurista apua?
